Question

已知關(guān)于t的整系數(shù)方程t²+xt+y=0有實(shí)根α、β，且α²+β²＜4，求x、y的值．

Answer 1

考點(diǎn)：一元二次方程的根的分布與系數(shù)的關(guān)系

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由條件利用韋達(dá)定理可得則α+β=-x，αβ=y，x²-4y≥0，則x²≥4y．再由α²+β²＜4，求得 x²＜2y+4，可得-2＜y＜2．分類討論，求得（x，y）的所有可能值

解答： 解：∵α、β是整系數(shù)方程t²+xt+y=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
則α+β=-x，αβ=y，x²-4y≥0，則x²≥4y．
α²+β²=（α+β）²-2αβ=x²-2y＜4，即 x²＜2y+4．
則2y+4＞4y，且2y+4＞0，所以，-2＜y＜2．
當(dāng)y=-1時(shí)，則-4≤x²＜2，所以，x=-1或0或1
當(dāng)y=0時(shí)，則0≤x²＜4，所以，x=-1或0或1
當(dāng)y=1時(shí)，則4≤x²＜6，所以，x=-2或2．
所以，（x，y）的所有可能值是：（-1，-1）、（0，-1）、（1，-1）、（-1，0）、（0，0）、（1，0）、（-2，1）、（2，1）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查一元二次方程根的分布與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)的性質(zhì)，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．