Question

已知雙曲線的中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，點(diǎn)P（-2，0）到其漸近線的距離為

2 6

3

，過(guò)點(diǎn)P作斜率為

2

2

的直線與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)M，|PM|是|PA|與|PB|的等比中項(xiàng)，則雙曲線的半焦距為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：利用點(diǎn)P（-2，0）到其漸近線的距離為

2 6

3

，可求雙曲線G的漸近線的方程；利用漸近線設(shè)出雙曲線G的方程，把直線l的方程與雙曲線G的方程聯(lián)立求出A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系式，再利用|PA|•|PB|=|PM|²．即可求出雙曲線G的方程，從而可得雙曲線的半焦距．

解答： 解：設(shè)雙曲線G的漸近線的方程為y=kx，
因?yàn)辄c(diǎn)P（-2，0）到其漸近線的距離為

2 6

3

，
所以

|2k|

k2+1

=

2 6

3

，
所以k=±

2

，即雙曲線G的漸近線的方程為y=±

2

x．
設(shè)雙曲線G的方程為2x²-y²=m，
把直線l的方程y=

2

2

（x+2）代入雙曲線方程，
整理得3x²-4x-4-2m=0，
則x_A+x_B=

4

3

，x_Ax_B=-

4+2m

3

．（*）
∵|PA|•|PB|=|PM|²，P、A、B、M共線且P在線段AB上，
∴（x_P-x_A）（x_B-x_P）=（x_P-x_M）²，即（x_B+2）（-2-x_A）=4，
整理得2（x_A+x_B）+x_Ax_B+8=0．
將（*）代入上式得m=14，
∴雙曲線的方程中a²=7，b²=14，
∴c²=21，∴c=

21

．
故答案為：

21

．

點(diǎn)評(píng)：本題涉及到雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的求法問(wèn)題．因?yàn)殡p曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程有兩種形式，所以在設(shè)方程之前一定要先看焦點(diǎn)所在位置．