Question

9．如圖：拋物線y²=4x的焦點(diǎn)為F，原點(diǎn)為O，直線AB經(jīng)過(guò)點(diǎn)F，拋物線的準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)C，若∠OFA=135°，則tan∠ACB=$2\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 先求出拋物線焦點(diǎn)F坐標(biāo)（1，0），準(zhǔn)線為l：x=-1，從而得到C點(diǎn)坐標(biāo)．由題意可知直線AB的方程為y=x-1，由AB方程與拋物線方程消去y得關(guān)于x的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系算出點(diǎn)A與點(diǎn)B的坐標(biāo)，然后利用向量來(lái)求解．

解答 解：∵拋物線方程為y²=2px=4x∴p=2
∵焦點(diǎn)F坐標(biāo)為（$\frac{p}{2}，0$），準(zhǔn)線l方程為x=$-\frac{p}{2}$
∴F點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），準(zhǔn)線l方程x=-1
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，0）
∵∠OFA=135°∴直線AB的斜率為1
∵直線AB經(jīng)過(guò)點(diǎn)F（1，0）∴直線AB方程為y=x-1
又∵點(diǎn)A與點(diǎn)B在拋物線上
∴兩方程聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=x-1}\\{y2=4x}\end{array}\right.$，得到x²-6x+1=0
解得A（3$+2\sqrt{2}$，2$+2\sqrt{2}$）B（3-2$\sqrt{2}$，2-2$\sqrt{2}$）
∴$\overrightarrow{CB}=（4-2\sqrt{2}，2-2\sqrt{2}）$，$\overrightarrow{CA}=（4+2\sqrt{2}，2+2\sqrt{2}）$
∴$cos∠ACB=\frac{\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}}{\overrightarrow{|CA}|•|\overrightarrow{CB}|}=\frac{1}{3}$，sin∠ACB=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$
∴tan∠ACB=2$\sqrt{2}$
故答案為$2\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)與準(zhǔn)線方程，同時(shí)考查了求根公式，最后利用向量的數(shù)量積來(lái)求角的三角函數(shù)值是關(guān)鍵．