Question

19．如圖所示，四邊形ABCD中，∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=$\frac{1}{2}$CD=2，點(diǎn)E為AB邊上異于A，B兩點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F在CD邊上，且EF∥AD，沿EF將面EBCF折起，使得CF⊥AE．

（1）若AE=1，則在線段CF上是否存在一點(diǎn)G，使得DG∥平面ABC，若存在，求此時(shí)線段CG的長度；若不存在，請說明理由．
（2）當(dāng)三棱錐F-ABE的體積最大時(shí)，求平面ABC與平面AEFD所成銳二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)AE=1，則在線段CF上存在一點(diǎn)G，使得DG∥平面ABC，此時(shí)線段CG=2．取CG=2，連接CG，GB．由四邊形ABCD中，∠BAD=∠ADC=90°，EF∥AD，可得四邊形AEFD是矩形．同理ABGD是矩形．可得：四邊形ABGD是平行四邊形，于是：DG∥AB．利用線面平行的判定定理即可證明：DG∥平面ABC．
（2）由EF⊥AB，可得EF⊥平面ABE．設(shè)AE=x，則V_F-ABE=$\frac{1}{3}EF•{S}_{△ABE}$=$\frac{1}{3}×2x（2-x）$，利用基本不等式的性質(zhì)可得：當(dāng)且僅當(dāng)AE=x=1時(shí)取等號，即三棱錐F-ABE的體積取得最大值．由于沿EF將面EBCF折起，使得CF⊥AE，而AE∥FD，可得CF⊥FD，CF⊥平面AEFD，進(jìn)而得到BE⊥平面AEFD．延長CB、FE相交于點(diǎn)M，連接AM，過E點(diǎn)作EN⊥AM，垂足為點(diǎn)N，連接BN．則∠BNE是平面ABC與平面AEFD所成銳二面角．利用平行線分線段成比例性質(zhì)與直角三角形的邊角關(guān)系即可得出．

解答 解：（1）當(dāng)AE=1，則在線段CF上存在一點(diǎn)G，使得DG∥平面ABC，此時(shí)線段CG=2．
下面給出證明：取CG=2，連接CG，GB．
∵四邊形ABCD中，∠BAD=∠ADC=90°，∴AB∥CD．
∵EF∥AD，∴四邊形AEFD是矩形．
同理ABGD是矩形．
∴BG∥EF∥AD，BG=EF=AD，
∴四邊形ABGD是平行四邊形，
∴DG∥AB．
又DG?平面ABC，AB?平面ABC．
∴DG∥平面ABC．
（2）∵EF⊥AB，∴EF⊥平面ABE．
設(shè)AE=x，則V_F-ABE=$\frac{1}{3}EF•{S}_{△ABE}$=$\frac{1}{3}×2x（2-x）$$≤\frac{2}{3}×（\frac{x+2-x}{2}）^{2}$=$\frac{2}{3}$，當(dāng)且僅當(dāng)AE=x=1時(shí)取等號，即三棱錐F-ABE的體積取得最大值．
∵沿EF將面EBCF折起，使得CF⊥AE，而AE∥FD，
∴CF⊥FD，
又CF⊥FE，F(xiàn)E∩FD=F，∴CF⊥平面AEFD．
∵BE∥CF，∴BE⊥平面AEFD．
延長CB、FE相交于點(diǎn)M，連接AM，過E點(diǎn)作EN⊥AM，垂足為點(diǎn)N，連接BN．
則∠BNE是平面ABC與平面AEFD所成銳二面角．
∵BE∥CF，∴$\frac{ME}{MF}=\frac{BE}{CF}=\frac{1}{3}$，∴$\frac{ME}{EF}=\frac{1}{2}$，EF=2，∴BM=1．
在Rt△MEA中，EM=EA=1，∴EN=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
在Rt△BEN中，cos∠ENB=$\frac{EN}{BN}$=$\frac{EN}{\sqrt{E{N}^{2}+B{E}^{2}}}$=$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}+1}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查了線面面面垂直與平行的判定與性質(zhì)定理、平行四邊形與矩形的性質(zhì)、二面角的平面角、平行線分線段成比例性質(zhì)與直角三角形的邊角關(guān)系，考查了空間想象能力、推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．