Question

20．已知集合S={P|P=（x₁，x₂，x₃），x_i∈{0，1}，i=1，2，3}對于A=（a₁，a₂，a₃），B=（b₁，b₂，b₃）∈S，定義A與B的差為A-B=（|a₁-b₁|，|a₂-b₂|，|a₃-b₃|），定義A與B之間的距離為d（A，B）=$\sum_{i=1}^{3}$|a_i-b_i|．對于?A，B，C∈S，則下列結(jié)論中一定成立的是（　�。�

• A． d（A，C）+d（B，C）=d（A，B）
• B． d（A，C）+d（B，C）＞d（A，B）
• C． d（A-C，B-C）=d（A，B）
• D． d（A-C，B-C）＞d（A，B）

Answer 1

分析 因?yàn)槊總�(gè)數(shù)位上都是0或者1，取差的絕對值仍然是0或者1，符合S_n的要求．然后是減去C的數(shù)位，不管減去的是0還是1，每一個(gè)a和每一個(gè)b都是同時(shí)減去的，因此不影響他們原先的差．

解答 解：設(shè)A=（a₁，a₂，a₃），B=（b₁，b₂，b₃），C=（c₁，c₂，c₃）∈S
因a_i，b_i∈0，1，故|a_i-b_i|∈0，1，（i=1，2，3）a₁b₁∈0，1，
即A-B=（|a₁-b₁|，|a₂-b₂|，|a₃-b₃|）∈S
又a_i，b_i，c_i∈（0，1），i=1，2，3
當(dāng)c_i=0時(shí)，有||a_i-c_i|-|b_i-c_i||=|a_i-b_i|；
當(dāng)c_i=1時(shí)，有||a_i-c_i|-|b_i-c_i||=|（1-a_i）-（1-b_i）=|a_i-b_i|，
故d（A-C，B-C）=d（A，B）成立．

點(diǎn)評 本題是綜合考查集合、數(shù)列與推理綜合的應(yīng)用，這道題目的難點(diǎn)主要出現(xiàn)在讀題上，需要仔細(xì)分析，以找出解題的突破點(diǎn)．題目所給的條件其實(shí)包含兩個(gè)定義，第一個(gè)是關(guān)于S_n的，其實(shí)S_n中的元素就是一個(gè)n維的坐標(biāo)，其中每個(gè)坐標(biāo)值都是0或者1，也可以這樣理解，就是一個(gè)n位數(shù)字的數(shù)組，每個(gè)數(shù)字都只能是0和1，第二個(gè)定義叫距離，距離定義在兩者之間，如果直觀理解就是看兩個(gè)數(shù)組有多少位不同，因?yàn)橹挥?和1才能產(chǎn)生一個(gè)單位的距離，因此這個(gè)大題最核心的就是處理數(shù)組上的每一位數(shù)，然后將處理的結(jié)果綜合起來，就能看到整體的性質(zhì)了．