Question

18．已知函數(shù)$f（x）=2sinxcos（φ-x）-\frac{1}{2}$（$0＜φ＜\frac{π}{2}$）的圖象過點$（\frac{π}{3}，1）$．
（Ⅰ）求φ的值；        
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知可得$2sin\frac{π}{3}cos（φ-\frac{π}{3}）-\frac{1}{2}=1$，結(jié)合φ的范圍求得φ；
（Ⅱ）把φ代入函數(shù)解析式，利用復合函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

解答 解：（Ⅰ）由$f（x）=2sinxcos（φ-x）-\frac{1}{2}$的圖象過點$（\frac{π}{3}，1）$．
得$2sin\frac{π}{3}cos（φ-\frac{π}{3}）-\frac{1}{2}=1$，得cos（φ-$\frac{π}{3}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵$0＜φ＜\frac{π}{2}⇒-\frac{π}{3}＜φ-\frac{π}{3}＜\frac{π}{6}$，
∴$φ-\frac{π}{3}=-\frac{π}{6}⇒φ=\frac{π}{6}$；
（Ⅱ）$f（x）=2sinxcos（\frac{π}{6}-x）-\frac{1}{2}=2sinx（\frac{{\sqrt{3}}}{2}cosx+\frac{1}{2}sinx）-\frac{1}{2}$
=$\sqrt{3}sinxcosx+{sin^2}x$=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2x+\frac{1-cos2x}{2}-\frac{1}{2}$=$sin（2x-\frac{π}{6}）$，
由$2kπ-\frac{π}{2}≤2x-\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{π}{2}，k∈Z$，
得$kπ-\frac{π}{6}≤x≤kπ+\frac{π}{3}$，k∈Z．
∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間為$[kπ-\frac{π}{6}，kπ+\frac{π}{3}]（k∈Z）$．

點評 本題考查三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，考查了y=Asin（ωx+φ）型函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是中檔題．