【題目】已知函數(shù).

1)證明:;

2)(i)證明:當時,對任意,總有

ii)討論函數(shù)的零點個數(shù).

【答案】1)證明見解析(2)(i)證明見解析(ii)當時,函數(shù)有唯一零點;當時,函數(shù)有兩個零點

【解析】

1,用導(dǎo)數(shù)法求得最小值大于零即可。

2)(i)證明:由(1)知:,根據(jù),利用根的分布證明。(ii)將的零點問題,轉(zhuǎn)化為的零點問題,求導(dǎo),分,, ,,四種情況討論求解。

1)令,

.

時,;當時,

上單調(diào)遞減;上單調(diào)遞增,

所以,即.

2)(i)證明:由(1)知:

.

,時,,

,故.

ii,令,則.

因為函數(shù)的定義域為,

的零點與的零點相同,

所以下面研究函數(shù)上的零點個數(shù).

,∴.

①當時,上恒成立,

上單調(diào)遞增.

,.

∴存在唯一的零點,使得.

②當時,,

可得上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.

的最小值為.

,則,

所以上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,又.

時,有唯一零點;

,即時,且.

,∴上有唯一的零點.

又由(i)知:上存在唯一零點,不妨設(shè),

上有唯一的零點,

故此時上有兩個零點;

,即時,且,.

,由函數(shù)零點存在定理可得上有唯一零點,

,上各一個唯一零點.

綜上可得:當時,函數(shù)有唯一零點;

時,函數(shù)有兩個零點.

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A.B.C.D.

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A.B.C.D.

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