Question

2014年，某市要全部實(shí)行居民社保一卡通，為了加快辦理進(jìn)程，某社保服務(wù)站開(kāi)設(shè)四類業(yè)務(wù)，假設(shè)居民辦理各類業(yè)務(wù)所需的時(shí)間相互獨(dú)立，且都是整數(shù)分鐘，經(jīng)統(tǒng)計(jì)以往100位居民辦理業(yè)務(wù)所需的時(shí)間t（分鐘），如下表

類別	A類	B類	C類	D類
居民數(shù)（人）	10	30	40	20
時(shí)間t（分鐘/人）	2	3	4	6

注：服務(wù)站工作人員在辦理兩項(xiàng)業(yè)務(wù)時(shí)的間隔時(shí)間忽略不計(jì)，并將頻率視為概率．
（Ⅰ）求服務(wù)站工作人員恰好在第6分鐘開(kāi)始辦理第三位居民的業(yè)務(wù)的概率；
（Ⅱ）用X表示至第4分鐘末已辦理完業(yè)務(wù)的居民人數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,相互獨(dú)立事件的概率乘法公式

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（1）設(shè)Y表示服務(wù)站工作人員辦理業(yè)務(wù)所需時(shí)間，用頻率估計(jì)概率，得Y的分布，A表示事件“服務(wù)站工作人員在第6分鐘開(kāi)始辦理第三位居民業(yè)務(wù)”，則事件A對(duì)應(yīng)兩種情形：①辦理第一位業(yè)務(wù)所需時(shí)間為2分鐘，且辦理第二位業(yè)務(wù)所需時(shí)間為3分鐘，②辦理第一位業(yè)務(wù)所需時(shí)間為3分鐘，且辦理第二位業(yè)務(wù)所需時(shí)間為2分鐘，由此能求出服務(wù)站工作人員恰好在第6分鐘開(kāi)始辦理第三位居民的業(yè)務(wù)的概率．
（2）X的取值為0，1，2，分別求出相應(yīng)在的概率，由此能求出X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答： 解：（1）設(shè)Y表示服務(wù)站工作人員辦理業(yè)務(wù)所需時(shí)間，
用頻率估計(jì)概率，得Y的分布如下：

Y	2	3	4	6
P	1 10	3 10	2 5	1 5

A表示事件“服務(wù)站工作人員在第6分鐘開(kāi)始辦理第三位居民業(yè)務(wù)”，
則事件A對(duì)應(yīng)兩種情形：
①辦理第一位業(yè)務(wù)所需時(shí)間為2分鐘，且辦理第二位業(yè)務(wù)所需時(shí)間為3分鐘，
②辦理第一位業(yè)務(wù)所需時(shí)間為3分鐘，且辦理第二位業(yè)務(wù)所需時(shí)間為2分鐘，
∴P（A）=P（Y=2）P（Y=3）+P（Y=3）P（Y=2）
=

1

10

×

3

10

+

3

10

×

1

10

=

3

50

．
（2）X的取值為0，1，2，
P（X=0）=P（Y＞4）=

1

5

，
P（X=1）=P（Y=2）P（Y＞2）+P（Y=3）+P（Y=4）
=

1

10

×

9

10

+

3

10

+

2

5

=

79

100

，
P（X=2）=P（Y=2）P（Y=2）=

1

10

×

1

10

=

1

100

，
∴X的分布列為：

X	0	1	2
P	1 5	79 100	1 100

EX=0×

1

5

+1×

79

100

+2×

1

100

=

81

100

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期的望的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，是中檔題．