Question

17．設(shè)橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0），定義橢圓C的“相關(guān)圓”E為：x²+y²=$\frac{{a}^{2}^{2}}{{a}^{2}+^{2}}$．若拋物線y²=4x的焦點(diǎn)與橢圓C的右焦點(diǎn)重合，且橢圓C的短軸長與焦距相等．
（1）求橢圓C及其“相關(guān)圓”E的方程；
（2）過“相關(guān)圓”E上任意一點(diǎn)P作其切線l，若l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，求證：∠AOB為定值（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）；
（3）在（2）的條件下，求△OAB面積的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求得拋物線的焦點(diǎn)，可得c=1，由a，b，c的關(guān)系可得a，進(jìn)而得到橢圓方程和圓E的方程；
（2）討論切線l的斜率不存在，求出方程，可得交點(diǎn)A，B，求得向量OA，OB的坐標(biāo)，可得∠AOB為90°；l的斜率存在時(shí)，設(shè)出直線方程，聯(lián)立橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，結(jié)合直線和圓相切的條件：d=r，化簡(jiǎn)整理，計(jì)算向量OA，OB的數(shù)量積，即可得證；
（3）求得△AOB的面積，討論直線l的斜率，運(yùn)用弦長公式和基本不等式，求得最值，由不等式的性質(zhì)，即可得到所求范圍．

解答 解：（1）由拋物線y²=4x的焦點(diǎn)（1，0）與橢圓C的右焦點(diǎn)重合，
可得c=1，又因?yàn)闄E圓C的短軸長與焦距相等，則b=c=1．a(chǎn)=$\sqrt{2}$，
故橢圓C的方程為：$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1，其“相關(guān)圓”E的方程為：x²+y²=$\frac{2}{3}$；
（2）證明：當(dāng)切線l的斜率不存在時(shí)切線方程為x=±$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)為（$\frac{\sqrt{6}}{3}$，±$\frac{\sqrt{6}}{3}$）或（-$\frac{\sqrt{6}}{3}$，±$\frac{\sqrt{6}}{3}$）
此時(shí)$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=$\frac{6}{9}$-$\frac{6}{9}$=0，即∠AOB=90°；
當(dāng)切線l斜率存在時(shí)，可設(shè)l的方程為y=kx+m，與橢圓方程聯(lián)立，可得
（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0
則△=16k²m²-4（1+2k²）（2m²-2）＞0，即為1+2k²＞m²，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=-$\frac{4km}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{2{m}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$，
可得y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²=k²•$\frac{2{m}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$+km（-$\frac{4km}{1+2{k}^{2}}$）+m²=$\frac{{m}^{2}-2{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，
由l與圓x²+y²=$\frac{2}{3}$相切，可得d=$\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，化為3m²=2k²+2，
則$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=$\frac{3{m}^{2}-2-2{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$=0，即∠AOB=90°．
綜上所述∠AOB=90°為定值；
（3）由于${S_{△OAB}}=\frac{1}{2}|{AB}|•|{OP}|=\frac{{\sqrt{6}}}{6}|{AB}|$，
求S_△OAB的取值范圍，只需求出弦長|AB|的取值范圍．
當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，可得|AB|=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，S_△AOB=$\frac{2}{3}$；           
當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$
=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{\frac{16{k}^{2}{m}^{2}}{（1+2{k}^{2}）^{2}}-\frac{8{m}^{2}-8}{1+2{k}^{2}}}$=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\frac{2\sqrt{2}\sqrt{1+2{k}^{2}-{m}^{2}}}{1+2{k}^{2}}$
=$\sqrt{\frac{8}{3}•\frac{（1+{k}^{2}）（1+4{k}^{2}）}{（1+2{k}^{2}）^{2}}}$=$\sqrt{\frac{8}{3}（1+\frac{{k}^{2}}{1+4{k}^{2}+4{k}^{4}}）}$，
由$\frac{{k}^{2}}{1+4{k}^{2}+4{k}^{4}}$=$\frac{1}{4+4{k}^{2}+\frac{1}{{k}^{2}}}$≤$\frac{1}{4+4}$=$\frac{1}{8}$，
故$\frac{8}{3}＜\frac{8}{3}（{1+\frac{1}{{4{k^2}+\frac{1}{k^2}+4}}}）≤3$，
故$\frac{{2\sqrt{6}}}{3}＜|{AB}|≤\sqrt{3}$，當(dāng)且僅當(dāng)4k²=$\frac{1}{{k}^{2}}$，即k=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$時(shí)，$|{AB}|=\sqrt{3}$．
于是|AB|的取值范圍為$[{\frac{{2\sqrt{6}}}{3}，\sqrt{3}}]$．
因此S_△OAB的取值范圍為$[{\frac{2}{3}，\;\;\frac{{\sqrt{2}}}{2}}]$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓方程的求法，注意運(yùn)用拋物線的焦點(diǎn)，考查直線和圓相切的條件：d=r，同時(shí)考查三角形的面積的取值范圍，注意運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長公式，及基本不等式的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．