Question

3．在三棱錐ABCD中，BC⊥CD，Rt△BCD斜邊上的高為1，三棱錐ABCD的外接球的直徑是AB，若該外接球的表面積為16π，則三棱錐ABCD體積的最大值為（　　）

• A． $\frac{1}{3}$
• B． $\frac{2}{3}$
• C． 1
• D． $\frac{4}{3}$

Answer 1

分析 當AD⊥平面BCD時，以CB、CD、CA為棱構(gòu)造長方體，此時三棱錐ABCD的外接球即該長方體的外接球，其直徑為AB，由已知得當a=b=$\sqrt{2}$時，AC=2$\sqrt{3}$，此時三棱錐ABCD體積為V=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．由此排除A，B，C選項．

解答 解：當AD⊥平面BCD時，以CB、CD、CA為棱構(gòu)造長方體，
此時三棱錐ABCD的外接球即該長方體的外接球，其直徑為AB，
∵該外接球的表面積為16π，∴AB=4，
設(shè)BC=a，CD=b，∵在三棱錐ABCD中，BC⊥CD，Rt△BCD斜邊上的高為1，
∴BD=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$，
設(shè)Rt△BCD斜邊上的高為CE，則CE=1，
由$\frac{1}{2}×BD×CE=\frac{1}{2}BC×DC$，得BD=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$=ab，
∵a＞0，b＞0，∴$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$=ab≥$\sqrt{2ab}$，即ab≥2，
當且僅當a=b=$\sqrt{2}$時，取等號，
∴當a=b=$\sqrt{2}$時，$\frac{\sqrt{A{C}^{2}+{a}^{2}+^{2}}}{2}$=2，解得AC=2$\sqrt{3}$，
此時三棱錐ABCD體積為V=$\frac{1}{3}×{S}_{△BCD}×AC$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}×2\sqrt{3}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
由此排除A，B，C選項，
故選：D．

點評 本題考查三棱錐的體積的最大值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．