Question

13．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|lo{g}_{5}（1-x）|（x＜1）}\\{-（x-2）^{2}+2（x≥1）}\end{array}\right.$，則關(guān)于x的方程f（x+$\frac{1}{x}$-2）=a的實(shí)根個(gè)數(shù)不可能為（　　）

• A． 5個(gè)
• B． 6個(gè)
• C． 7個(gè)
• D． 8個(gè)

Answer 1

分析 以f（x）=1的特殊情形為突破口，解出x=1或3或$\frac{4}{5}$或-4，將x+$\frac{1}{x}$-2是為整體，利用換元的思想方法進(jìn)一步討論．

解答 解：∵f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|lo{g}_{5}（1-x）|（x＜1）}\\{-（x-2）^{2}+2（x≥1）}\end{array}\right.$，即f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{5}（1-x），x≤0}\\{-lo{g}_{5}（1-x），0＜x＜1}\\{-（x-2）^{2}+2，x≥1}\end{array}\right.$．
因?yàn)楫?dāng)f（x）=1時(shí)，
x=1或3或$\frac{4}{5}$或-4，
則當(dāng)a=1時(shí)，
x+$\frac{1}{x}$-2=1或3或$\frac{4}{5}$或-4，
又因?yàn)?x+$\frac{1}{x}$-2≥0
或x+$\frac{1}{x}$-2≤-4，
所以，當(dāng)x+$\frac{1}{x}$-2=-4時(shí)只有一個(gè)x=-2與之
對應(yīng)．
其它情況都有2個(gè)x值與之對應(yīng)，
故此時(shí)所求的方程有7個(gè)根，
當(dāng)1＜a＜2時(shí)，y=f（x）與y=a有4個(gè)交點(diǎn)，
故有8個(gè)根；
當(dāng)a=2時(shí)，y=f（x）與y=a有3個(gè)交點(diǎn)，
故有6個(gè)根；
綜上：不可能有5個(gè)根，
故選：A．

點(diǎn)評 本題重點(diǎn)考查了分段函數(shù)、函數(shù)的零點(diǎn)等知識，屬于中檔題．