Question

3．已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長(zhǎng)為1，E為棱CC₁的中點(diǎn)，F(xiàn)為棱AA₁上的點(diǎn)，且滿足A₁F：FA=1：2，點(diǎn)F、B、E、G、H為面MBN過三點(diǎn)B、E、F的截面與正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁在棱上的交點(diǎn)，則下列說法錯(cuò)誤的是（　　）

• A． HF∥BE
• B． $BM=\frac{{\sqrt{13}}}{2}$
• C． ∠MBN的余弦值為$\frac{{\sqrt{65}}}{65}$
• D． △MBN的面積是$\frac{{\sqrt{61}}}{4}$

Answer 1

分析 利用直線與平面平行的判斷與性質(zhì)判斷A正誤；通過求解三角形判斷B、C的正誤；通過三角形的面積判斷D的正誤；

解答 解：因?yàn)槊鍭D₁∥面BC₁，且面AD₁與面MBN的交線為FH，面BC₁與面MBN的交線為BE，所以HF∥BE，A正確；
因?yàn)锳₁F∥BB₁，且A₁F：FA=1：2，所以MA₁：A₁B₁=1：2，所以$M{A_1}=\frac{1}{2}$，所以${B_1}M=\frac{3}{2}$，在Rt△BB₁M中，$BM=\sqrt{BB_1^2+{B_1}{M^2}}$=$\frac{{\sqrt{13}}}{2}$，所以B正確；
在Rt△BB₁N中，E為棱CC₁的中點(diǎn)，所以C₁為棱NB₁上的中點(diǎn)，所以C₁N=1，在Rt△C₁EN中，$EN=\sqrt{{C_1}{E^2}+{C_1}{N^2}}=\frac{{\sqrt{5}}}{2}$，所以$BN=\sqrt{5}$；因?yàn)?MN=\sqrt{M{B_1}^2+N{B_1}^2}=\frac{5}{2}$，在△BMN中，$cos∠MBN=\frac{{B{M^2}+B{N^2}-M{N^2}}}{2BM•BN}$=$\frac{{2\sqrt{65}}}{65}$，所以C錯(cuò)誤；
因?yàn)?cos∠MBN=\frac{{2\sqrt{65}}}{65}$，所以$sin∠MBN=\sqrt{\frac{61}{65}}$，所以S_△BMN=$\frac{1}{2}×BM$×$BN×sin∠MBN=\frac{{\sqrt{61}}}{4}$．所以D正確．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查命題的真假的判斷與應(yīng)用，考查空間想象能力以及計(jì)算能力．