Question

18．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{1}{2}$，其中一個(gè)頂點(diǎn)是雙曲線$\frac{{x}^{2}}{9}$-$\frac{{y}^{2}}{16}$=1的焦點(diǎn)．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過(guò)點(diǎn)P（0，3）的直線l與橢圓C相交于不同的兩點(diǎn)A，B，過(guò)點(diǎn)A，B分別作橢圓的兩條切線，求其交點(diǎn)的軌跡方程．

Answer 1

分析 （1）由橢圓的離心率為$\frac{1}{2}$，其中一個(gè)頂點(diǎn)是雙曲線$\frac{{x}^{2}}{9}$-$\frac{{y}^{2}}{16}$=1的焦點(diǎn)，旬出方程組求出a，b，c，由此能求出橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y=kx+3，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），求出橢圓在點(diǎn)A處的切線方程為$\frac{x{x}_{1}}{25}+\frac{4y{y}_{1}}{75}$=1，①橢圓在點(diǎn)B處的切線方程為$\frac{x{x}_{2}}{25}+\frac{4y{y}_{2}}{75}$=1，②，聯(lián)立①②，得y=$\frac{75（{x}_{2}-{x}_{1}）}{4（{x}_{2}{y}_{1}-{x}_{1}{y}_{2}）}$，求出交點(diǎn)的軌跡方程為y=$\frac{25}{4}$．當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，無(wú)交點(diǎn)．由此能過(guò)求出過(guò)點(diǎn)A，B所作橢圓的兩條切線的交點(diǎn)的軌跡方程．

解答 解：（1）∵橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{1}{2}$，其中一個(gè)頂點(diǎn)是雙曲線$\frac{{x}^{2}}{9}$-$\frac{{y}^{2}}{16}$=1的焦點(diǎn)．
雙曲線$\frac{{x}^{2}}{9}$-$\frac{{y}^{2}}{16}$=1的焦點(diǎn)F₁（-5，0），F(xiàn)₂（5，0），
∴橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）中，$\left\{\begin{array}{l}{a=5}\\{\frac{c}{a}=\frac{1}{2}}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，
解得a=5，c=$\frac{5}{2}$，$^{2}=\frac{75}{4}$，
∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{4{y}^{2}}{75}$=1．
（2）當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y=kx+3，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
設(shè)在A（x₁，y₁）處切線方程為y-y₁=k₁（x-x₁），
與橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{4{y}^{2}}{75}$=1聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y-{y}_{1}={k}_{1}（x-{x}_{1}）}\\{\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{4{y}^{2}}{75}=1}\end{array}\right.$，
消去y，得（$4{{k}_{1}}^{2}+3$）x²+8k₁（-k₁x₁+y₁）x+4（-k₁x₁+y₁）²-75=0，
由△=0，得[8k₁（-k₁x₁+y₁）]²-4（4${{k}_{1}}^{2}$+3）[4（-k₁x₁+y₁）²-75]=0，
化簡(jiǎn)，得（$4{{x}_{1}}^{2}-100$）${{k}_{1}}^{2}-8{x}_{1}{y}_{1}{k}_{1}+4{{y}_{1}}^{2}-75=0$，
由$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{25}+\frac{4{{y}_{1}}^{2}}{75}=1$，得4x₁²-100=-$\frac{16}{3}{{y}_{1}}^{2}$，4y₁²-75=-3x₁²，
∴上式化為-$\frac{16}{3}{{y}_{1}}^{2}{{k}_{1}}^{2}-8{x}_{1}{y}_{1}{k}_{1}-3{{x}_{1}}^{2}$=0，
∴（4y₁k₁+3x₁）²=0，${k}_{1}=-\frac{3{x}_{1}}{4{y}_{1}}$，
∴橢圓在點(diǎn)A處的切線方程為$\frac{x{x}_{1}}{25}+\frac{4y{y}_{1}}{75}$=1，①
同理，得橢圓在點(diǎn)B處的切線方程為$\frac{x{x}_{2}}{25}+\frac{4y{y}_{2}}{75}$=1，②
聯(lián)立①②，消去x，得：$\frac{1-\frac{4y{y}_{1}}{75}}{1-\frac{4y{y}_{2}}{75}}=\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$，解得y=$\frac{75（{x}_{2}-{x}_{1}）}{4（{x}_{2}{y}_{1}-{x}_{1}{y}_{2}）}$，
∵A、B都在直線l上，∴$\left\{\begin{array}{l}{{y}_{2}=k{x}_{2}+3}\\{{y}_{1}=k{x}_{1}+3}\end{array}\right.$，∴x₂y₁-x₁y₂=3x₂-3x₁，
∴y=$\frac{7（5{x}_{2}-{x}_{1}）}{4（{x}_{2}{y}_{1}-{x}_{1}{y}_{2}）}$=$\frac{7（5{x}_{2}-{x}_{1}）}{12（{x}_{2}-{x}_{1}）}$=$\frac{25}{4}$，即此時(shí)的交點(diǎn)的軌跡方程為y=$\frac{25}{4}$．
當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線的方程為x=0，則A（0，$\frac{5\sqrt{3}}{2}$），B（0，-$\frac{5\sqrt{3}}{2}$），
則橢圓在點(diǎn)A處的切線方程為y=$\frac{5\sqrt{3}}{2}$，橢圓在B處的切線方程為y=-$\frac{5\sqrt{3}}{2}$，此時(shí)無(wú)交點(diǎn)．
綜上所述，過(guò)點(diǎn)A，B所作橢圓的兩條切線的交點(diǎn)的軌跡方程為y=$\frac{25}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和兩條切線的交點(diǎn)的軌跡方程的求法，考查橢圓、雙曲線、直線方程、的判別式、切線方程等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，考查創(chuàng)新意識(shí)、應(yīng)用意識(shí)，是中檔題．