Question

【題目】已知函數(shù).

（1）若函數(shù)在處有極值，求的值；

（2）若對于任意的在上單調(diào)遞增，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）b＝－11 （2）

【解析】

解：(1)f′(x)＝3x2＋2ax＋b，

于是，根據(jù)題設(shè)有，

解得或.

當(dāng)時，f′(x)＝3x2＋8x－11，Δ＝64＋132>0，所以函數(shù)有極值點；

當(dāng)時，f′(x)＝3(x－1)2≥0，所以函數(shù)無極值點．

所以b＝－11.

(2)由題意知f′(x)＝3x2＋2ax＋b≥0對任意的a∈[－4，＋∞)，x∈[0,2]都成立，

所以F(a)＝2xa＋3x2＋b≥0對任意的a∈[－4，＋∞)，x∈[0,2]都成立．

因為x≥0，

所以F(a)在a∈[－4，＋∞)上為單調(diào)遞增函數(shù)或為常數(shù)函數(shù)，

①當(dāng)F(a)為常數(shù)函數(shù)時，F(a)＝b≥0；

②當(dāng)F(a)為增函數(shù)時，F(a)min＝F(－4)＝－8x＋3x2＋b≥0，

即b≥(－3x2＋8x)max對任意x∈[0,2]都成立，

又－3x2＋8x＝－3(x－)2＋≤，

所以當(dāng)x＝時，(－3x2＋8x)max＝，所以b≥.

所以b的最小值為.