Question

【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為菱形，∠BAD=60°，Q為AD的中點，PA=PD=AD=2
（1）點M在線段PC上，PM=tPC，試確定t的值，使PA∥平面MQB；
（2）在（1）的條件下，若平面PAD⊥平面ABCD，求二面角M﹣BQ﹣C的大�。�

Answer 1

【答案】
（1）解：當(dāng)t= 時，PA∥平面MQB

下面證明：若PA∥平面MQB，連AC交BQ于N

由AQ∥BC可得，△ANQ∽△BNC，

∴ …

PA∥平面MQB，PA平面PAC，

平面PAC∩平面MQB=MN，

∴PA∥MN…

即：PM= PC∴t=

（2）解：由PA=PD=AD=2，Q為AD的中點，則PQ⊥AD．．

又平面PAD⊥平面ABCD，所以PQ⊥平面ABCD，連BD，

四邊形ABCD為菱形，

∵AD=AB，∠BAD=60°△ABD為正三角形，

Q為AD中點，∴AD⊥BQ

以Q為坐標(biāo)原點，分別以QA、QB、QP所在的直線為

x，y，z軸，建立如圖所示的坐標(biāo)系，則各點坐標(biāo)為

A（1，0，0），B（0， ，0），Q（0，0，0），P（0，0， ）

設(shè)平面MQB的法向量為 ，可得

而PA∥MN∴ ，

取z=1，解得

取平面ABCD的法向量 設(shè)所求二面角為θ，

則 故二面角M﹣BQ﹣C的大小為60°…

【解析】（1）當(dāng)t= 時，PA∥平面MQB，若PA∥平面MQB，連AC交BQ于N，根據(jù)線面平行得到PA∥MN，從而 ，即PM= PC，從而求出t的值；（2）以Q為坐標(biāo)原點，分別以QA、QB、QP所在的直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，先求出平面MQB的法向量 ，取平面ABCD的法向量 設(shè)所求二面角為θ，根據(jù)公式 即可求出二面角M﹣BQ﹣C的大小．
【考點精析】通過靈活運用直線與平面平行的判定，掌握平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行即可以解答此題．