Question

14．已知正四面體ABCD的棱長為$\sqrt{2}$，則其外接球的體積為（　�。�

• A． $\frac{4}{3}$π
• B． $\frac{{\sqrt{2}}}{3}$π
• C． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$π
• D． 3π

Answer 1

分析 抓住正四面體的特征，底面是正三角形，邊長為$\sqrt{2}$，高線的投影在底面正三角形的重心上．外接球的球心在高線上，且到各個頂點(diǎn)的距離相等，構(gòu)造直角三角形，求出R，即可求球的體積．

解答 解：
由題意：ABCD是正四面體，底面是正三角形，邊長為$\sqrt{2}$，高線的投影在底面正三角形的重心上，則有BE=2EF；設(shè)AO=OB=R．
∵BCD是正三角形，邊長為$\sqrt{2}$，
∴BF=$\sqrt{B{C}^{2}-C{F}^{2}}=\sqrt{2-（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}}=\frac{\sqrt{6}}{2}$；
∴BE=$\frac{\sqrt{6}}{2}×\frac{2}{3}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$；
AE=$\sqrt{A{B}^{2}-B{E}^{2}}$=$\sqrt{2-\frac{2}{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$；
0E=AE-R=$\frac{2\sqrt{3}}{3}-R$
∵△BEO是直角三角形，
∴R²=OE²+BE²，即${R}^{2}=（\frac{2\sqrt{3}}{3}-R）^{2}+（\frac{\sqrt{6}}{3}）^{2}$．
解得：R=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
則球的體積V=$\frac{4}{3}π{R}^{3}$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}π$
故選：C．

點(diǎn)評 本題考查正四面體的特征以及球的體積的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．是中檔題．