【題目】已知數(shù)列的前項的和為,記.
(1)若是首項為,公差為的等差數(shù)列,其中,均為正數(shù).
①當,,成等差數(shù)列時,求的值;
②求證:存在唯一的正整數(shù),使得.
(2)設(shè)數(shù)列是公比為的等比數(shù)列,若存在,(,,)使得,求的值.
【答案】(1)①②見解析(2)
【解析】
先寫出的表達式.
寫出,,,列出等式求解.
等價于,是一個固定的數(shù),當時,區(qū)間互不相交,且并集為,所以n存在且唯一.
先將等式化成基本量表示的形式,有,設(shè)出函數(shù),當時,,又,從而找出r,t的值,再解出q.
(1)①因為,,成等差數(shù)列,
所以,即,
解得,.
②由,得,
整理得,解得,
由于且.
因此存在唯一的正整數(shù),使得.
(2)因為,所以.
設(shè),,.
則,
因為,,所以,
所以,即,即單調(diào)遞增.
所以當時,,
則,即,這與互相矛盾.
所以,即.
若,則,
即,與相矛盾.
于是,所以,即.
又,所以.
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【題目】疫情后,為了支持企業(yè)復工復產(chǎn),某地政府決定向當?shù)仄髽I(yè)發(fā)放補助款,其中對納稅額在萬元至萬元(包括萬元和萬元)的小微企業(yè)做統(tǒng)一方案.方案要求同時具備下列兩個條件:①補助款(萬元)隨企業(yè)原納稅額(萬元)的增加而增加;②補助款不低于原納稅額(萬元)的.經(jīng)測算政府決定采用函數(shù)模型(其中為參數(shù))作為補助款發(fā)放方案.
(1)判斷使用參數(shù)是否滿足條件,并說明理由;
(2)求同時滿足條件①、②的參數(shù)的取值范圍.
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【題目】直角坐標系中,以坐標原點為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,已知曲線C的極坐標方程為:,傾斜角為銳角的直線l過點與單位圓相切.
(1)求曲線C的直角坐標方程和直線l的參數(shù)方程;
(2)設(shè)直線l與曲線C交于A,B兩點,求的值.
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【題目】某生物興趣小組對冬季晝夜溫差與反季節(jié)新品種大豆發(fā)芽數(shù)之間的關(guān)系進行研究,他們分別記錄了月日至11月25日每天的晝夜溫差與實驗室每天100顆種子的發(fā)芽數(shù),得到以下表格
日期 | 11月21日 | 11月22日 | 11月23日 | 11月24日 | 11月25日 |
溫差() | 8 | 9 | 11 | 10 | 7 |
發(fā)芽數(shù)(顆) | 22 | 26 | 31 | 27 | 19 |
該興趣小組確定的研究方案是:先從這5組數(shù)據(jù)中選取2組數(shù)據(jù),然后用剩下的3組數(shù)據(jù)求線性回歸方程,再用被選取的組數(shù)據(jù)進行檢驗.
(1)求統(tǒng)計數(shù)據(jù)中發(fā)芽數(shù)的平均數(shù)與方差;
(2)若選取的是11月21日與11月25日的兩組數(shù)據(jù),請根據(jù)11月22 日至11月24 日的數(shù)據(jù),求出發(fā)芽數(shù)關(guān)于溫差的線性回歸方程,若由線性回歸方程得到的估計數(shù)據(jù)與所選取的檢驗數(shù)據(jù)的誤差不超過2,則認為得到的線性回歸方程是可靠的,問得到的線性回歸方程是否可靠?
附:線性回歸方程 中斜率和截距最小二乘估法計算公式: ,
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【題目】在平面直角坐標系中,將曲線:上的點按坐標變換,得到曲線,為與軸負半軸的交點,經(jīng)過點且傾斜角為的直線與曲線的另一個交點為,與曲線的交點分別為,(點在第二象限).
(Ⅰ)寫出曲線的普通方程及直線的參數(shù)方程;
(Ⅱ)求的值.
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【題目】如圖,已知在棱長為1的正方體中,,,分別是線段,,的中點,又,分別在線段,上,且.設(shè)平面平面,現(xiàn)有下列結(jié)論:
①平面;
②;
③直線與平面不垂直;
④當變化時,不是定直線.
其中不成立的結(jié)論是______.(填序號)
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【題目】東莞的輕軌給市民出行帶來了很大的方便,越來越多的市民選擇乘坐輕軌出行,很多市民都會開汽車到離家最近的輕軌站,將車停放在輕軌站停車場,然后進站乘輕軌出行,這給輕軌站停車場帶來很大的壓力.某輕軌站停車場為了解決這個問題,決定對機動車停車施行收費制度,收費標準如下:4小時內(nèi)(含4小時)每輛每次收費5元;超過4小時不超過6小時,每增加一小時收費增加3元;超過6小時不超過8小時,每增加一小時收費增加4元,超過8小時至24小時內(nèi)(含24小時)收費30元;超過24小時,按前述標準重新計費.上述標準不足一小時的按一小時計費.為了調(diào)查該停車場一天的收費情況,現(xiàn)統(tǒng)計1000輛車的停留時間(假設(shè)每輛車一天內(nèi)在該停車場僅停車一次),得到下面的頻數(shù)分布表:
(小時) | ||||||
頻數(shù)(車次) | 100 | 100 | 200 | 200 | 350 | 50 |
以車輛在停車場停留時間位于各區(qū)間的頻率代替車輛在停車場停留時間位于各區(qū)間的概率.
(1)現(xiàn)在用分層抽樣的方法從上面1000輛車中抽取了100輛車進行進一步深入調(diào)研,記錄并統(tǒng)計了停車時長與司機性別的列聯(lián)表:
男 | 女 | 合計 | |
不超過6小時 | 30 | ||
6小時以上 | 20 | ||
合計 | 100 |
完成上述列聯(lián)表,并判斷能否有90%的把握認為“停車是否超過6小時”與性別有關(guān)?
(2)(i)表示某輛車一天之內(nèi)(含一天)在該停車場停車一次所交費用,求的概率分布列及期望;
(ii)現(xiàn)隨機抽取該停車場內(nèi)停放的3輛車,表示3輛車中停車費用大于的車輛數(shù),求的概率.
參考公式:,其中
0.40 | 0.25 | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | |
0.780 | 1.323 | 2.706 | 3.841 | 5.024 |
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【題目】已知橢圓的離心率為,若橢圓的長軸長等于的直徑,且,成等差數(shù)列
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)設(shè)、是橢圓上不同的兩點,線段的垂直平分線交軸于點,試求點的橫坐標的取值范圍.
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