Question

7．設(shè)函數(shù)f（x）=$\frac{a}{3}$x³-ax²+x+1，a∈R．
（1）討論f（x）的單調(diào)性；
（1）若f（x）存在兩個(gè)極值點(diǎn)x₁，x₂，且1＜$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$≤5，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先確定函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)fˊ（x），再對(duì)a分類(lèi)討論，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性；
（2）由于f（x）存在兩個(gè)極值點(diǎn)x₁，x₂，利用（1）中對(duì)a的討論，即可得到滿(mǎn)足1＜$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$≤5的x₁，x₂的值，解不等式即可得到a的取值范圍．

解答 解：（1）由于函數(shù)f（x）=$\frac{a}{3}$x³-ax²+x+1，a∈R．
則f′（x）=ax²-2ax+1，△=4a²-4a，
①當(dāng)a＞1時(shí)，△=4a²-4a＞0，
則f′（x）=ax²-2ax+1=0有兩個(gè)根1-$\frac{\sqrt{{a}^{2}-a}}{a}$，1+$\frac{\sqrt{{a}^{2}-a}}{a}$，
故f（x）在（-∞，1-$\frac{\sqrt{{a}^{2}-a}}{a}$），（1+$\frac{\sqrt{{a}^{2}-a}}{a}$，+∞）上單調(diào)遞增，在（1-$\frac{\sqrt{{a}^{2}-a}}{a}$，1+$\frac{\sqrt{{a}^{2}-a}}{a}$）單調(diào)遞減，
②當(dāng)0≤a≤1時(shí)，△=4a²-4a≤0，則f′（x）≥0恒成立，
故f（x）在R上單調(diào)遞增，
③當(dāng)a＜0時(shí)，△=4a²-4a＞0，
則f′（x）=ax²-2ax+1=0有兩個(gè)根1-$\frac{\sqrt{{a}^{2}-a}}{a}$，1+$\frac{\sqrt{{a}^{2}-a}}{a}$，
故f（x）在（-∞，1-$\frac{\sqrt{{a}^{2}-a}}{a}$），（1+$\frac{\sqrt{{a}^{2}-a}}{a}$，+∞）上單調(diào)遞減，在（1-$\frac{\sqrt{{a}^{2}-a}}{a}$，1+$\frac{\sqrt{{a}^{2}-a}}{a}$）單調(diào)遞增，
綜上可知，當(dāng)a＞1時(shí)，f（x）在（-∞，1-$\frac{\sqrt{{a}^{2}-a}}{a}$），（1+$\frac{\sqrt{{a}^{2}-a}}{a}$，+∞）上單調(diào)遞增，在（1-$\frac{\sqrt{{a}^{2}-a}}{a}$，1+$\frac{\sqrt{{a}^{2}-a}}{a}$）單調(diào)遞減，
當(dāng)0≤a≤1時(shí)，f（x）在R上單調(diào)遞增，
當(dāng)a＜0時(shí)，f（x）在（-∞，1-$\frac{\sqrt{{a}^{2}-a}}{a}$），（1+$\frac{\sqrt{{a}^{2}-a}}{a}$，+∞）上單調(diào)遞減，在（1-$\frac{\sqrt{{a}^{2}-a}}{a}$，1+$\frac{\sqrt{{a}^{2}-a}}{a}$）單調(diào)遞增；
（2）若f（x）存在兩個(gè)極值點(diǎn)x₁，x₂，且1＜$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$≤5，
結(jié)合（1）知，當(dāng)a＜0時(shí)，x₁=1-$\frac{\sqrt{{a}^{2}-a}}{a}$，x₂=1+$\frac{\sqrt{{a}^{2}-a}}{a}$，則1＜$\frac{a-\sqrt{{a}^{2}-a}}{a+\sqrt{{a}^{2}+a}}$≤5，不等式無(wú)解；
當(dāng)a＞1時(shí)，x₁=1+$\frac{\sqrt{{a}^{2}-a}}{a}$，x₂=1-$\frac{\sqrt{{a}^{2}-a}}{a}$，則1＜$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}-a}}{a-\sqrt{{a}^{2}-a}}$≤5，解得0≤a≤$\frac{9}{5}$，故1＜a≤$\frac{9}{5}$，
則滿(mǎn)足條件的a的取值范圍為{a|1＜a≤$\frac{9}{5}$}．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查學(xué)生對(duì)含有參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性及極值的判斷，考查利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性及求極值的能力，考查分類(lèi)討論思想及轉(zhuǎn)化劃歸思想的運(yùn)用和運(yùn)算能力，邏輯性綜合性強(qiáng)，屬難題．