Question

3．如圖，在五面體ABCDEF中，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為4的正方形，EF∥AD，平面ADEF⊥平面ABCD，且BC=2EF，AE=AF，G是EF的中點(diǎn)，AG=1
（1）證明：AG⊥平面ABCD；
（2）求直線BF與平面ACE所成角的正弦值；
（3）判斷線段AC上是否存在一點(diǎn)M，使MG∥平面ABF？若存在，求出$\frac{AM}{AC}$的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等腰三角形AG⊥EF．推證 AG⊥AD，AG⊥平面ABCD，線面的轉(zhuǎn)化 AG⊥CD．
（2）以A為原點(diǎn)，以AB，AD，AG分別為x軸、y軸和z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，可求平面ACE的法向量為$\overrightarrow{n}$=（1，-1，1）．即可求解BF與平面ACE所成角的正弦值為|cos＜$\overrightarrow{BF}$，$\overrightarrow{n}$＞|=$\frac{|\overrightarrow{BF}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{BF}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{6}}{9}$．
（3）根據(jù)中點(diǎn)推證GF∥MN，GF=MN．四邊形GFNM是平行四邊形． 由直線平面平行的判定定理推證GM∥平面ABF；

解答 解：（1）證明：因?yàn)锳E=AF，點(diǎn)G是EF的中點(diǎn)，
所以AG⊥EF．（1分）
又因?yàn)镋F∥AD，
所以AG⊥AD．（2分）
因?yàn)槠矫鍭DEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD=AD，
AG?平面ADEF，
所以AG⊥平面ABCD．（4分）
（2）解：因?yàn)锳G⊥平面ABCD，AB⊥AD，所以AG、AD、AB兩兩垂直．
以A為原點(diǎn)，以AB，AD，AG分別為x軸、y軸和z軸，如圖建立空間直角坐標(biāo)系
則A（0，0，0），B（4，0，0），C（4，4，0），
由于AG=1，則E（0，1，1），F(xiàn)（0，-1，1），
所以$\overrightarrow{BF}$=（-4，-1，1），$\overrightarrow{AC}$=（4，4，0），$\overrightarrow{AE}$=（0，1，1）．…（8分）
設(shè)平面ACE的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
由$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{n}$=0，$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{n}$=0，得$\left\{\begin{array}{l}{4x+4y=0}\\{y+z=0}\end{array}\right.$，
令z=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，-1，1）．
因?yàn)锽F與平面ACE所成角的正弦值為|cos＜$\overrightarrow{BF}$，$\overrightarrow{n}$＞|=$\frac{|\overrightarrow{BF}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{BF}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{6}}{9}$，
所以直線BF與平面ACE所成角的正弦值為$\frac{\sqrt{6}}{9}$．…（10分）
（3）存在點(diǎn)M在線段AC上，且 $\frac{AM}{MC}=\frac{1}{3}$，使得：GM∥平面ABF．
證明：如圖，過點(diǎn)M作MN∥BC，且交AB于點(diǎn)N，連結(jié)NF，
因?yàn)?nbsp;$\frac{AM}{MC}=\frac{1}{3}$，所以$\frac{MN}{BC}=\frac{AM}{AC}=\frac{1}{4}$，
因?yàn)?nbsp;BC=2EF，點(diǎn)G是EF的中點(diǎn)，
所以 BC=4GF，
又因?yàn)?nbsp;EF∥AD，四邊形ABCD為正方形，
所以 GF∥MN，GF=MN．
所以四邊形GFNM是平行四邊形．
所以 GM∥FN．
又因?yàn)镚M?平面ABF，F(xiàn)N?平面ABF，
所以 GM∥平面ABF．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了空間幾何體的性質(zhì)，空間直線的位置關(guān)系，直線平面的平行關(guān)系，掌握好定理，轉(zhuǎn)化直線的為關(guān)系判斷即可，屬于中檔題．