Question

【題目】已知數(shù)列和滿足，，，.

（1）證明：是等比數(shù)列，是等差數(shù)列；

（2）求和的通項(xiàng)公式；

（3）令，求數(shù)列的前項(xiàng)和的通項(xiàng)公式，并求數(shù)列的最大值、最小值，并指出分別是第幾項(xiàng).

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2），；（3）當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；的最大值為第1項(xiàng)，最大值為1，最小值為第2項(xiàng)，最小值為.

【解析】

（1）根據(jù)定義判斷是等比數(shù)列，是等差數(shù)列；

（2）由（1）求得和的通項(xiàng)公式，解方程分別求得和的通項(xiàng)公式

（3）先求為偶數(shù)時(shí)的，利用并項(xiàng)求和法求出，再求為奇數(shù)時(shí)的，

利用遞推式（為偶數(shù)），再分析的符號和單調(diào)性，求出的最大

值和最小值.

解: （1）由題,，相加得

得，故是首項(xiàng)為公比為的等比數(shù)列；

又由,，相減得，

即，故是首項(xiàng)為公差為 的等比數(shù)列.

（2）由（1）得，，聯(lián)立解得

，

（3）由（2）得

當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，

當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，

時(shí)，

則當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，.

綜合得

則當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，單調(diào)遞增且;

當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，

故單調(diào)遞減，又，即，

則當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，單調(diào)遞減且，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，單調(diào)遞增且

故的最大值為第1項(xiàng)，最大值為1，最小值為第2項(xiàng)，最小值為.