Question

3．已知直線l：x-y+2=0（m∈R）與圓C：（x+2）²+（y-1）²=4相交于A，B兩點，則$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{AB}$=7．

Answer 1

分析 由題意畫出圖形，聯(lián)立直線和圓的方程，利用弦長公式求得AB，再利用數(shù)量積的幾何意義求得$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{AB}$．

解答 解：如圖，

聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x-y+2=0}\\{（x+2）^{2}+（y-1）^{2}=4}\end{array}\right.$，得2x²+6x+1=0．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則${x}_{1}+{x}_{2}=-3，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{1}{2}$．
∴AB=$\sqrt{1+{k}^{2}}|{x}_{1}-{x}_{2}|$=$\sqrt{1+1}•\sqrt{（-3）^{2}-4×\frac{1}{2}}=\sqrt{14}$．
由數(shù)量積的幾何意義可得：$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{AB}$=$|\overrightarrow{AB}|•\frac{1}{2}|\overrightarrow{AB}|=\frac{1}{2}|\overrightarrow{AB}{|}^{2}=\frac{14}{2}=7$．
故答案為：7．

點評 本題考查直線和圓相交的性質(zhì)，考查了弦長公式的應(yīng)用，考查了平面向量數(shù)量積的幾何意義，是中檔題．