Question

14．函數(shù)f（x）=sin2x+$\sqrt{2}cos（x+\frac{π}{4}）$的最大值是$\frac{5}{4}$．

Answer 1

分析 利用兩角和的余弦展開，令t=cosx-sinx換元，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值解答．

解答 解：f（x）=sin2x+$\sqrt{2}cos（x+\frac{π}{4}）$=sin2x+$\sqrt{2}（cosxcos\frac{π}{4}-sinxsin\frac{π}{4}）$
=sin2x+$\sqrt{2}（\frac{\sqrt{2}}{2}cosx-\frac{\sqrt{2}}{2}sin2x）$=2sinxcosx+cosx-sinx．
令t=cosx-sinx，則t∈[$-\sqrt{2}，\sqrt{2}$]，
∴t²=1-2sinxcosx，2sinxcosx=1-t²．
原函數(shù)化為y=-t²+t+1，t∈[$-\sqrt{2}，\sqrt{2}$]，
對(duì)稱軸方程為t=$\frac{1}{2}$，∴當(dāng)t=$\frac{1}{2}$時(shí)函數(shù)有最大值為$\frac{5}{4}$．
故答案為：$\frac{5}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了兩角和與差的余弦函數(shù)，考查了利用換元法求三角函數(shù)的最值，考查了二次函數(shù)最值的求法，是中檔題．