Question

12．已知函數(shù)f（x）=$\frac{lnx}{x}$，g（x）=ax-a．
（1）若函數(shù)g（x）的圖象與函數(shù)f（x）的圖象相切，求a的值及切點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）若m，n∈（0，1]，且m＞n，求證：$\root{mn}{\frac{{m}^{n}}{{n}^{m}}}$＞e^m-n．

Answer 1

分析 （1）設(shè)切點(diǎn)為（m，am-a），求得f（x）的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率，由切點(diǎn)在曲線上，可得2mlnm-lnm-m+1=0，m＞0，由h（m）=2mlnm-lnm-m+1，求出導(dǎo)數(shù)，求得極值點(diǎn)，也為最值點(diǎn)，即可得到切點(diǎn)和a的值；
（2）運(yùn)用分析法證明，即證ln$（\frac{{m}^{n}}{{n}^{m}}）^{\frac{1}{mn}}$＞m-n，即為$\frac{1}{mn}$（lnmⁿ-lnn^m）＞m-n，即證$\frac{lnm}{m}$-m＞$\frac{lnn}{n}$-n，由0＜n＜m≤1，可設(shè)h（x）=$\frac{lnx}{x}$-x（0＜x≤1），求出導(dǎo)數(shù)，判斷單調(diào)性，即可得證．

解答 解：（1）設(shè)切點(diǎn)為（m，am-a），
由f（x）=$\frac{lnx}{x}$的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，
可得切線的斜率為a=$\frac{1-lnm}{{m}^{2}}$，
又am-a=$\frac{lnm}{m}$，
即有2mlnm-lnm-m+1=0，m＞0，
由h（m）=2mlnm-lnm-m+1，
導(dǎo)數(shù)h′（m）=2（1+lnm）-$\frac{1}{m}$-1，
在（0，+∞）遞增，當(dāng)m=1時(shí)，h′（m）=2（1+0）-1-1=0，
即有m＞1時(shí)，h′（m）＞0，h（m）遞增；
0＜m＜1時(shí)，h′（m）＜0，h（m）遞減．
即有m=1時(shí)，h（m）取得最小值，且為0，
可得切點(diǎn)為（1，0），且a=1；
（2）證明：要證$\root{mn}{\frac{{m}^{n}}{{n}^{m}}}$＞e^m-n．
即證ln$（\frac{{m}^{n}}{{n}^{m}}）^{\frac{1}{mn}}$＞m-n，
即為$\frac{1}{mn}$（lnmⁿ-lnn^m）＞m-n，
即有$\frac{lnm}{m}$-$\frac{lnn}{n}$＞m-n，
即證$\frac{lnm}{m}$-m＞$\frac{lnn}{n}$-n，
由0＜n＜m≤1，可設(shè)h（x）=$\frac{lnx}{x}$-x（0＜x≤1），
由h′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$-1=$\frac{1-{x}^{2}-lnx}{{x}^{2}}$，
由0＜x≤1，可得1-x²≥0，lnx≤0，
則h′（x）≥0，可得h（x）在（0，1]遞增，
由0＜n＜m≤1，可得$\frac{lnm}{m}$-m＞$\frac{lnn}{n}$-n，
故原不等式成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的斜率和單調(diào)區(qū)間、極值和最值，考查不等式的證明，注意運(yùn)用分析法，構(gòu)造函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，考查運(yùn)算和推理能力，屬于中檔題．