Question

15．已知定義在（0，+∞）上的單調(diào)函數(shù)f（x），對(duì)任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）-log₃x]=4，則函數(shù)f（x）的圖象在x=$\frac{1}{ln3}$處的切線的斜率為1．

Answer 1

分析 利用換元法設(shè)f（x）-log₃x=t，根據(jù)條件表示出f（x），然后求解函數(shù)的解析式，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義進(jìn)行求解即可．

解答 解：∵定義在（0，+∞）上的單調(diào)函數(shù)f（x），對(duì)任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）-log₃x]=4，
∴設(shè)f（x）-log₃x=t，則f（x）=log₃x+t，且f（t）=4，
則令x=t，則f（t）=log₃t+t=4，即t=3，
即f（x）=log₃x+3，
函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x）=$\frac{1}{xln3}$，
則函數(shù)f（x）的圖象在x=$\frac{1}{ln3}$處的切線的斜率k=f′（$\frac{1}{ln3}$）=$\frac{1}{\frac{1}{ln3}•ln3}$=1，
故答案為：1

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)解析式的求解以及函數(shù)切線的斜率，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義是解決本題的關(guān)鍵．