Question

過橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左焦點F作垂直于x軸的直線交橢圓上方部分一點P，Q、R分別是橢圓的上頂點、右頂點，O是原點，OP∥QR，|FR|=2+

2

．
（1）求橢圓的方程；
（2）直線l：y=2x+m交橢圓于A、B兩點，M（0，1），若AM⊥RB，求l的方程．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由已知得

b2 a b = c a a+c=2+ 2 a2=b2+c2

，由此能求出橢圓方程．
（2）聯(lián)立

y=2x+m x2 4 + y2 2 =1

，得9x²+8mx+2m²-4=0，由此利用根的判別式、韋達定理，結合已知條件能求出直線方程．

解答： 解：（1）由已知得|PF|=

b2

a

，|OF|=c，|OQ|=b，|OR|=a，
∵OP∥QR，|FR|=2+

2

，
∴

b2 a b = c a a+c=2+ 2 a2=b2+c2

，解得a=2，b=c=

2

，
∴橢圓方程為

x2

4

+

y2

2

=1．
（2）聯(lián)立

y=2x+m x2 4 + y2 2 =1

，得9x²+8mx+2m²-4=0，
∵直線l：y=2x+m交橢圓于A、B兩點，
∴△=64m²-36（2m²-4）＞0，解得m²≤18，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x1+x2=-

8m

9

，x1x2=

2m2-4

9

，
∵M（0，1），R（2，0），
∴

AM

=（-x₁，1-y₁），

RB

=（x₂-2，y₂），
∵AM⊥RB，∴

AM

•

RB

=-x₁x₂+2x₁+y₂-y₁y₂=0，
∴（2-2m）（x₁+x₂）+m-5x₁x₂-m²=0，
∴(2-2m)•(-

8m

9

)-5•

2m2-4

9

+m-m2=0，
解得m=-4或m=

5

3

，
∴直線方程為y=2x-4或y=2x+

5

3

．

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查直線方程的求法，解題時要認真審題，注意根的判別式、韋達定理、向量知識的合理運用．