Question

1．用數(shù)學(xué)歸納法證明：1+$\frac{1}{1+2}$+$\frac{1}{1+2+3}$+…$\frac{1}{1+2+3+…n}$=$\frac{2n}{n+1}$ （n∈N^*），由“k遞推到k+1”時左端需增加的代數(shù)式是$\frac{2}{（k+1）（k+2）}$．

Answer 1

分析 根據(jù)等差數(shù)列前n項和公式可知1+2+3…+n=$\frac{n（n+1）}{2}$，求得$\frac{1}{1+2+3+…n}$=$\frac{2}{n（n+1）}$，再根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法由n=k到n=k+1左邊需要添加的項是$\frac{2}{（k+1）（k+2）}$．

解答 解：由等差數(shù)列前n項和公式可知1+2+3…+n=$\frac{n（n+1）}{2}$，
$\frac{1}{1+2+3+…n}$=$\frac{2}{n（n+1）}$，
∴等式左邊=1+$\frac{2}{2×3}$+$\frac{2}{3×4}$+…+$\frac{2}{（n-2）（n-1）}$+$\frac{2}{（n-1）n}$+$\frac{2}{n（n+1）}$，
∴用數(shù)學(xué)歸納法證明時，由n=k到n=k+1左邊需要添加的項是$\frac{2}{（k+1）（k+2）}$，
故答案為：$\frac{2}{（k+1）（k+2）}$．

點評 本題考查數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用，考查等差數(shù)列前n項和公式，考查轉(zhuǎn)化思想，考查推理和證明能力，屬于中檔題．