Question

10．如圖，在△ABC中，已知∠ABC=45°，O在AB上，且OB=OC=$\frac{2}{3}$AB，又PO⊥平面ABC，DA∥PO，DA=AO=$\frac{1}{2}$PO．
（Ⅰ）求證：PD⊥平面COD；
（Ⅱ）求二面角B-DC-O的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)OA=1，則PO=OB=2，DA=1，由DA∥PO，PO⊥平面ABC，知DA⊥平面ABC，可得DA⊥AO．利用勾股定理的逆定理可得：PD⊥DO．由OC=OB=2，∠ABC=45°，可得CO⊥AB，又PO⊥平面ABC，可得PO⊥OC，得到CO⊥平面PAB．得到CO⊥PD．即可證明．
（Ⅱ）如圖建立空間直角坐標(biāo)系，點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)AB=1，利用線面垂直的性質(zhì)、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系得出兩個平面的法向量，求出其夾角即可．

解答 （Ⅰ）證明：設(shè)OA=1，則PO=OB=2，DA=1，
由DA∥PO，PO⊥平面ABC，知DA⊥平面ABC，
∴DA⊥AO．從而$DO=\sqrt{2}，PD=\sqrt{2}$，
在△PDO中，∵PO=2，
∴△PDO為直角三角形，故PD⊥DO．
又∵OC=OB=2，∠ABC=45°，
∴CO⊥AB，又PO⊥平面ABC，
∴PO⊥OC，
又PO，AB?平面PAB，PO∩AB=O，
∴CO⊥平面PAB．
故CO⊥PD．
∵CO∩DO=O，
∴PD⊥平面COD．
（Ⅱ）解：以O(shè)C，OB，OP所在射線分別為x，y，z軸，建立直角坐標(biāo)系如圖．
則由（Ⅰ）知，C（2，0，0），B（0，2，0），P（0，0，2），D（0，-1，1），
∴$\overrightarrow{PD}=（0，-1，-1），\overrightarrow{BC}=（2，-2，0），\overrightarrow{BD}=（0，-3，1）$，
由（Ⅰ）知PD⊥平面COD，∴$\overrightarrow{PD}$是平面DCO的一個法向量，
設(shè)平面BDC的法向量為$\overrightarrow n=（x，y，z）$，∴$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow n•\overrightarrow{BC}=0\\ \overrightarrow n•\overrightarrow{BD}=0\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}2x-2y=0\\-3y+z=0\end{array}\right.$，
令y=1，則x=1，z=3，∴$\overrightarrow n=（1，1，3）$，
∴$cos＜\overrightarrow{PD}，\overrightarrow n＞=\frac{{\overrightarrow{PD}•\overrightarrow n}}{{|\overrightarrow{PD}||\overrightarrow n|}}=\frac{-1-3}{{\sqrt{2}\sqrt{11}}}=-\frac{{2\sqrt{22}}}{11}$，
由圖可知：二面角B-DC-O為銳角，二面角B-DC-O的余弦值為$\frac{{2\sqrt{22}}}{11}$．

點(diǎn)評 本題考查了線面垂直的判定與性質(zhì)定理，考查了通過建立空間直角坐標(biāo)系利用線面垂直的性質(zhì)定理、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系及平面的法向量的夾角求出二面角的方法、勾股定理的逆定理、等腰直角三角形的性質(zhì)，考查了空間想象能力，考查了推理能力與計(jì)算能力．