Question

19．將函數(shù)y=f（x）的圖象向左平移1個單位長度，縱坐標不變，橫坐標縮小到原來的$\frac{3}{π}$倍，然后再向上平移1個單位長度，得到函數(shù)y=$\sqrt{3}$sinx的圖象．
（1）求f（x）的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）求使得y=f（x）取得最值的自變量的集合．

Answer 1

分析 （1）由條件利用函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，可得f（x）的解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的周期性、單調(diào)性求得f（x）的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間．
（2）根據(jù)函數(shù)的解析式、正弦函數(shù)的定義域和值域，求出使得y=f（x）取得最值的自變量的集合．

解答 解：（1）由題意可得把函數(shù)y=$\sqrt{3}$sinx的圖象向下平移1個單位長度，可得y=$\sqrt{3}$sinx-1的圖象；
再把所得圖象的縱坐標不變，橫坐標變?yōu)樵瓉淼?\frac{π}{3}$倍，可得f（x）=$\sqrt{3}$sin（$\frac{π}{3}$x）-1的圖象；
再把所得圖象向右平移1個單位長度，可得y=$\sqrt{3}$sin$\frac{π}{3}$（x-1）-1=$\sqrt{3}$sin（$\frac{π}{3}$x-$\frac{π}{3}$）-1 的圖象；
故f（x）的最小正周期為$\frac{2π}{\frac{π}{3}}$=6．
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤$\frac{π}{3}$x-$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈z，求得6k-$\frac{1}{2}$≤x≤6k+$\frac{5}{2}$，
故函數(shù)的增區(qū)間為[6k-$\frac{1}{2}$，6k+$\frac{5}{2}$]，k∈z．
（2）對于f（x）=$\sqrt{3}$sin（$\frac{π}{3}$x-$\frac{π}{3}$）-1，當$\frac{π}{3}$x-$\frac{π}{3}$=kπ+$\frac{π}{2}$，即x=3k+$\frac{5}{2}$，k∈z時，函數(shù)f（x）取得最值．
故使得y=f（x）取得最值的自變量的集合為{x|x=3k+$\frac{5}{2}$，k∈z}．

點評 本題主要考查函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的周期性、單調(diào)性、定義域和值域，屬于中檔題．