Question

5．如圖，AB為圓O的直徑，E是圓O上不同于A，B的動(dòng)點(diǎn)，四邊形ABCD 為矩形，且AB=2，AD=1，平面ABCD⊥平面ABE．
（1）求證：BE⊥平面DAE；
（2）當(dāng)點(diǎn)E在$\widehat{AB}$的什么位置時(shí)，四棱錐E-ABCD的體積為$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 （1）利用矩形的性質(zhì)可得：DA⊥AB，利用面面垂直的性質(zhì)定理可得：DA⊥平面ABE，利用圓的性質(zhì)可得AE⊥BE，即可證明．
（2）利用面面垂直的性質(zhì)與線面垂直的判定定理可得：EH⊥平面ABCD．在Rt△BAE中，設(shè)∠BAE=α（0＜α＜$\frac{π}{2}$），利用V_E-ABCD=$\frac{1}{3}{S}_{ABCD}×HE$=$\frac{1}{3}×2×1×sin2α$=$\frac{2}{3}sin2α$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，解得α，即可得出點(diǎn)E的位置．

解答 解：（1）∵四邊形ABCD為矩形，
∴DA⊥AB，
又平面ABCD⊥平面ABE，
且平面ABCD∩平面ABE=AB，
∴DA⊥平面ABE，
而BE?平面ABE，∴DA⊥BE．
又∵AB為圓O的直徑，E是圓O上不同于A，B的
動(dòng)點(diǎn)，∴AE⊥BE．
∵DA∩AE=A，∴BE⊥平面DAE．
（2）∵平面ABCD⊥平面ABE，過點(diǎn)E作EH⊥AB交AB于點(diǎn)H，則EH⊥平面ABCD．
在Rt△BAE中，設(shè)∠BAE=α（0＜α＜$\frac{π}{2}$），
∵AB=2，∴AE=2cosα，HE=AEsinα=2sinαcosα=sin2α，
∴V_E-ABCD=$\frac{1}{3}{S}_{ABCD}×HE$=$\frac{1}{3}×2×1×sin2α$=$\frac{2}{3}sin2α$．
由已知V_E-ABCD=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，∴$\frac{2}{3}sin2α=\frac{\sqrt{3}}{3}$，化為sin2α=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∵0＜α＜$\frac{π}{2}$，∴$2α=\frac{π}{3}$，即$α=\frac{π}{6}$；
或2$α=\frac{2π}{3}$，即$α=\frac{π}{3}$．
于是點(diǎn)E在$\widehat{AB}$滿足$∠EAB=\frac{π}{6}$或$∠EAB=\frac{π}{3}$時(shí)，四棱錐E-ABCD的體積為$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線面面面垂直的判定與性質(zhì)定理、圓的性質(zhì)、四棱錐的體積計(jì)算公式、三角函數(shù)的計(jì)算與性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，考查了空間想象能力，屬于中檔題．