Question

求函數(shù)y=x²-4ax-3（0≤x≤2）的最大值和最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：分對(duì)稱軸和閉區(qū)間的三種位置關(guān)系：軸在區(qū)間左邊，軸在區(qū)間右邊，軸在區(qū)間中間來討論即可．

解答： 解：∵f（x）=x²-4ax-3=（x-2a）²+2-4a²，對(duì)稱軸是x=2a，
當(dāng)2a＜0，即a＜0時(shí)，函數(shù)y=x²-4ax-3在[0，2]上是增函數(shù)，故最大值f（2）=1-8a，最小值f（0）=-3；
當(dāng)2a＞2，即a＞1時(shí)，函數(shù)y=x²-4ax-3在[0，2]上是減函數(shù)，故最大值f（0）=-3，最小值f（2）=1-8a；
當(dāng)0≤2a≤2時(shí)，函數(shù)y=x²-4ax-3在[0，2]上先減后增，最小值f（a）=2-4a²，
①0≤2a＜1，即0≤a＜

1

2

時(shí)，最大值f（2）=1-8a，
②1≤2a≤2，即

1

2

≤a≤1時(shí)，最大值f（0）=-3，
綜上得，函數(shù)y=x²-4ax-3（0≤x≤2）的最大值M=

1-8a，a＜ 1 2 -3，a≥ 1 2

，
最小值m=

-3，a＜0 2-4a2，0≤a≤1 1-8a，a＞1

．

點(diǎn)評(píng)：本題的實(shí)質(zhì)是求二次函數(shù)的最值問題，關(guān)于解析式中帶參數(shù)的二次函數(shù)在固定閉區(qū)間上的最值問題，一般是根據(jù)對(duì)稱軸和閉區(qū)間的位置關(guān)系來進(jìn)行分類討論，如軸在區(qū)間左邊，軸在區(qū)間右邊，軸在區(qū)間中間，最后在綜合歸納得出所需結(jié)論