Question

9．已知函數(shù)f（x）=x³-ax²+4，若f（x）的圖象與x軸正半軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（　�。�

• A． （1，+∞）
• B． （$\frac{3}{2}$，+∞）
• C． （2，+∞）
• D． （3，+∞）

Answer 1

分析 利用參數(shù)分離法，進(jìn)行轉(zhuǎn)化，構(gòu)造函數(shù)，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，研究函數(shù)的極值即可得到結(jié)論．

解答 解：由題意可知f（x）=x³-ax²+4=0，即a=x+$\frac{4}{{x}^{2}}$有兩個(gè)不等的正根，
設(shè)h（x）=x+$\frac{4}{{x}^{2}}$，x＞0，
則h′（x）=1-$\frac{8}{{x}^{3}}$=$\frac{{x}^{3}-8}{{x}^{3}}$，
令h′（x）=0，得x=2，
由h′（x）＞0得x＞2，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，
由h′（x）＜0得，0＜x＜2，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，
即在x=2處取得極小值h（2）=2+$\frac{4}{{2}^{2}}$=2+1=3，
結(jié)合h（x）的圖象可得a＞3，
故選D

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，利用參數(shù)分離法，構(gòu)造函數(shù)，研究函數(shù)的極值，結(jié)合數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．