Question

5．某射手進(jìn)行射擊訓(xùn)練，假設(shè)每次射擊擊中目標(biāo)的概率為$\frac{3}{5}$，且各次射擊的結(jié)果互不影響．該射手射擊了4次，求：
（1）其中只在第一、三次2次擊中目標(biāo)的概率；
（2）設(shè)X為擊中目標(biāo)次數(shù)，試求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （1）該射手射擊了4次，其中只在第一、三次2次擊中目標(biāo)，是在確定的情況下?lián)糁心繕?biāo)2次，也即在第二、四次沒(méi)有擊中目標(biāo)，所以只有一種情況，又各次射擊的結(jié)果互不影響，由此能求出只在第一、三次2次擊中目標(biāo)的概率．
（2）根據(jù)題意，X=0，1，2，3，4，隨機(jī)變量X的分布列符合二項(xiàng)分布$X～B（4，\frac{3}{5}）$，由此能出隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答 （本小題滿分18分）
解：（1）該射手射擊了4次，其中只在第一、三次2次擊中目標(biāo)，
是在確定的情況下?lián)糁心繕?biāo)2次，也即在第二、四次沒(méi)有擊中目標(biāo)，
所以只有一種情況，又各次射擊的結(jié)果互不影響，
故所求概率為$P=\frac{3}{5}（1-\frac{3}{5}）\frac{3}{5}（1-\frac{3}{5}）=\frac{36}{625}$．…（7分）
（2）根據(jù)題意，X=0，1，2，3，4，每次射擊擊中目標(biāo)的概率為$\frac{3}{5}$，未擊中目標(biāo)的概率為$\frac{2}{5}$
隨機(jī)變量X的分布列符合二項(xiàng)分布，即$X～B（4，\frac{3}{5}）$…（11分）
P（X=0）=$（\frac{2}{5}）^{4}$=$\frac{16}{625}$，
P（X=1）=${C}_{4}^{1}（\frac{3}{5}）（\frac{2}{5}）^{3}$=$\frac{96}{625}$，
P（X=2）=${C}_{4}^{2}（\frac{3}{5}）^{2}（\frac{2}{5}）^{2}$=$\frac{216}{625}$，
P（X=3）=${C}_{4}^{3}（\frac{3}{5}）^{3}（\frac{2}{5}）$=$\frac{216}{625}$，
P（X=4）=${C}_{4}^{4}（\frac{3}{5}）^{4}=\frac{81}{625}$，
∴X的分布列為

X	0	1	2	3	4
P	$\frac{16}{625}$	$\frac{96}{625}$	$\frac{216}{625}$	$\frac{216}{625}$	$\frac{81}{625}$

…（16分）
∴X的數(shù)學(xué)期望為$EX=4×\frac{3}{5}$=$\frac{12}{5}$．…（18分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意二項(xiàng)分布的性質(zhì)的合理運(yùn)用．