Question

15．已知等差數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，a₄=4，S₅=15．
（1）求{a_n}的通項公式；
（2）設(shè)b_n=${2}^{{a}_{n}}$+2a_n，求數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)S₅=5a₃，求得a₃，由d=a₄-a₃，a₁=a₄-3d，根據(jù)等差數(shù)列通項公式求得a_n=n；
（2）由（1）可知：求得b_n=2ⁿ+2n，根據(jù)等差數(shù)列及等比數(shù)列前n項和公式即可求得T_n．

解答 解：（1）數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，由等差數(shù)列性質(zhì)S₅=5a₃，
∴5a₃=15，即a₃=3，
d=a₄-a₃=4-3=1，
∴a₁=a₄-3d=1，
∴{a_n}的通項公式a_n=n；
（2）b_n=${2}^{{a}_{n}}$+2a_n=2ⁿ+2n，
∴數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n，T_n=$\frac{2-{2}^{n+1}}{1-2}$+2×$\frac{n（n+1）}{2}$=2ⁿ⁺¹-2+n²+n．
數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n=2ⁿ⁺¹+n²+n-2．

點評 本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)，主要考查等差及等比數(shù)列前n項和公式，考查分析問題及解決問題的能力，屬于中檔題．