Question

16．已知拋物線y²=8x的準線過雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左頂點，且雙曲線的兩條漸近線方程為y=±2x，則雙曲線離心率為（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{3}}{4}$
• B． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{5}}{2}$
• D． $\sqrt{5}$

Answer 1

分析 求出拋物線的準線方程，利用準線和雙曲線左頂點的關系求出a，結合雙曲線的漸近線求出，b，c即可求雙曲線的離心率．

解答 解：拋物線的準線方程為x=-2，
∵拋物線y²=8x的準線過雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左頂點（-a，0），
∴-a=-2，則a=2，
∵雙曲線的兩條漸近線方程為y=±2x=±$\frac{a}$x=±$\frac{2}$x，
∴$\frac{2}$=2，則b=4，
則c=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$=$\sqrt{4+16}=\sqrt{20}$=2$\sqrt{5}$，
則雙曲線的離心率e=$\frac{c}{a}=\frac{2\sqrt{5}}{2}$=$\sqrt{5}$，
故選：D．

點評 本題主要考查雙曲線離心率的計算，根據條件建立方程求a，b，c的值是解決本題的關鍵．