Question

7．設(shè)點(diǎn)A，F(xiàn)（c，0）分別是雙曲線$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的右頂點(diǎn)、右焦點(diǎn)，直線x=$\frac{a^2}{c}$交該雙曲線的一條漸近線于點(diǎn)P，若△PAF是等腰三角形，則此雙曲線的離心率為（　�。�

• A． $\sqrt{3}$
• B． 3
• C． $\sqrt{2}$
• D． 2

Answer 1

分析 由|PF|＞|PA|，|PF|＞|AF|，可得△PAF是等腰三角形即有|PA|=|AF|．設(shè)雙曲線的一條漸近線方程為y=$\frac{a}$x，可得A（a，0），P$（\frac{a^2}{c}\;，\;\frac{ab}{c}）$，運(yùn)用兩點(diǎn)的距離公式，化簡整理，由a，b，c的關(guān)系和離心率公式，解方程即可得到所求值．

解答 解：顯然|PF|＞|PA|，|PF|＞|AF|，
所以由△PAF是等腰三角形得|PA|=|AF|．
設(shè)雙曲線的一條漸近線方程為y=$\frac{a}$x，
可得A（a，0），P$（\frac{a^2}{c}\;，\;\frac{ab}{c}）$，
可得$\sqrt{（\frac{{a}^{2}}{c}-a）^{2}+（\frac{ab}{c}）^{2}}$=c-a，
即有${（\frac{a^2}{c}-a）^2}+{（\frac{ab}{c}）^2}={（c-a）^2}$$⇒{（\frac{a}{c}）^2}{（a-c）^2}+{（\frac{a}{c}）^2}（{c^2}-{a^2}）={（c-a）^2}$
$⇒{（\frac{a}{c}）^2}+{（\frac{a}{c}）^2}\frac{c+a}{c-a}=1$$⇒\frac{1}{e^2}+\frac{1}{e^2}\frac{e+1}{e-1}=1$．
化簡為e²-e-2=0，
解得e=2（-1舍去）．
故選：D．

點(diǎn)評 本題考查雙曲線的離心率的求法，注意運(yùn)用雙曲線的漸近線方程和等腰三角形的定義，考查化簡整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．