Question

2．已知雙曲線的一條漸近線方程為y=4x，且雙曲線的焦點(diǎn)與拋物線y²=8x的焦點(diǎn)是重合的，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（　　）

• A． $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{4}=1$
• B． $\frac{{17{x^2}}}{4}-\frac{{17{y^2}}}{64}=1$
• C． $\frac{x^2}{4}-\frac{{4{y^2}}}{5}=1$
• D． $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{2}=1$

Answer 1

分析 求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，確實(shí)雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和方程，結(jié)合漸近線，利用待定系數(shù)法設(shè)出雙曲線的方程，利用a，b，c的關(guān)系進(jìn)行求解即可．

解答 解：∵雙曲線的焦點(diǎn)與拋物線y²=8x的焦點(diǎn)是重合，
∴拋物線的焦點(diǎn)為（2，0），焦點(diǎn)在x軸上，
∵雙曲線的一條漸近線方程為y=4x，
∴設(shè)雙曲線的方程為x²-$\frac{{y}^{2}}{16}$=λ（λ＞0），
即$\frac{{x}^{2}}{λ}-\frac{{y}^{2}}{16λ}$=1，
則a²=λ，b²=16λ，
c²=λ+16λ=17λ=4，
則λ=$\frac{4}{17}$，
則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{17{x^2}}}{4}-\frac{{17{y^2}}}{64}=1$，
故選：B

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查雙曲線的方程和性質(zhì)，根據(jù)雙曲線和拋物線焦點(diǎn)關(guān)系求出c，以及利用待定系數(shù)法是解決本題的關(guān)鍵．