Question

19．已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點分別為F₁、F₂，點P在雙曲線的右支上，且|PF₁|=4|PF₂|，則此雙曲線的離心率e的最大值為（　　）

• A． $\frac{5}{4}$
• B． $\frac{6}{5}$
• C． $\frac{5}{3}$
• D． $\frac{8}{5}$

Answer 1

分析 由雙曲線的定義可得|PF₁|-|PF₂|=3|PF₂|=2a，再根據點P在雙曲線的右支上，|PF₂|≥c-a，從而求得此雙曲線的離心率e的最大值．

解答 解：∵P在雙曲線的右支上，
∴由雙曲線的定義可得|PF₁|-|PF₂|=2a，
∵|PF₁|=4|PF₂|，
∴4|PF₂|-|PF₂|=2a，即|PF₂|=$\frac{2}{3}$a，
根據點P在雙曲線的右支上，可得|PF₂|=$\frac{2}{3}$a≥c-a，∴$\frac{5}{3}$a≥c，即e≤$\frac{5}{3}$，
此雙曲線的離心率e的最大值為$\frac{5}{3}$，
故選：C

點評 本題考查雙曲線的定義和標準方程，以及雙曲線的簡單性質的應用，利用雙曲線的定義轉化為|PF₂|≥c-a是解決本題的關鍵．