Question

16．已知橢圓$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的離心率與雙曲線3x²-y²=3的離心率互為倒數(shù)，且過點$（1，\frac{3}{2}）$．
（1）求橢圓方程；
（2）若直線l：y=kx+m（k≠0）與橢圓交于不同的兩點M、N，且線段MN的垂直平分線過定點$P（\frac{1}{5}，0）$，求k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）雙曲線3x²-y²=3即${x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{3}$=1的離心率e=2．由題意可得：橢圓的離心率$e=\frac{1}{2}$=$\frac{c}{a}$，b²=a²-c²，把點$（1，\frac{3}{2}）$代入橢圓方程解出即可得出．
（2）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），直線方程與橢圓方程聯(lián)立消去y并整理得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，可得△＞0，利用根與系數(shù)的關(guān)系及其中點坐標(biāo)公式可得：MN中點P的坐標(biāo)為$（-\frac{4km}{{3+4{k^2}}}，\frac{3m}{{3+4{k^2}}}）$，設(shè)MN的垂直平分線l′方程：$y=-\frac{1}{k}（x-\frac{1}{5}）$，由于P在l′上可得：4k²+5km+3=0，與△＞0聯(lián)立解出即可得出．

解答 解：（1）雙曲線3x²-y²=3即${x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{3}$=1的離心率e=$\sqrt{1+\frac{3}{1}}$=2．
由題意可得：橢圓的離心率$e=\frac{1}{2}$．
∴$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，∴a=2c，∴b²=a²-c²=3c²，
∴橢圓方程為$\frac{x^2}{{4{c^2}}}+\frac{y^2}{{3{c^2}}}=1$…（2分）
又點$（1，\frac{3}{2}）$在橢圓上，∴$\frac{1}{{4{c^2}}}+\frac{{{{（\frac{3}{2}）}^2}}}{{3{c^2}}}=1$，∴c²=1，
∴橢圓的方程為$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$…（4分）
（2）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
由$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1}\\{y=kx+m}\end{array}}\right.$，消去y并整理得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，
∵直線y=kx+m與橢圓有兩個交點，△=（8km）²-4（3+4k²）（4m²-12）＞0，即m²＜4k²+3，…（6分）
又${x_1}+{x_2}=-\frac{8km}{{3+4{k^2}}}$，
∴MN中點P的坐標(biāo)為$（-\frac{4km}{{3+4{k^2}}}，\frac{3m}{{3+4{k^2}}}）$，
設(shè)MN的垂直平分線l′方程：$y=-\frac{1}{k}（x-\frac{1}{5}）$，
∴P在l′上$\frac{3m}{{3+4{k^2}}}=-\frac{1}{k}（-\frac{4km}{{3+4{k^2}}}-\frac{1}{5}）$，即4k²+5km+3=0，$m=-\frac{{4{k^2}+3}}{5k}$，…（10分）
將上式代入得$\frac{{{{（4{k^2}+3）}^2}}}{{25{k^2}}}＜4{k^2}+3$，${k^2}＞\frac{1}{7}$，$k＞\frac{{\sqrt{7}}}{7}$或$k＜-\frac{{\sqrt{7}}}{7}$，
∴k的取值范圍為$（-∞，-\frac{{\sqrt{7}}}{7}）∪（\frac{{\sqrt{7}}}{7}，+∞）$…（12分）

點評 本題考查了橢圓的定義標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、線段的垂直平分線的性質(zhì)、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．