Question

6．F₁，F(xiàn)₂分別為橢圓$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}$=1的左右焦點，P為橢圓上一動點，F(xiàn)₂關(guān)于直線PF₁的對稱點為M，F(xiàn)₁關(guān)于直線PF₂的對稱點為N，則當(dāng)|MN|的最大值為（　�。�

• A． 2
• B． 3
• C． 4
• D． $2\sqrt{2}$

Answer 1

分析 設(shè)P（2cosθ，$\sqrt{2}$sinθ），F(xiàn)₁（-$\sqrt{2}$，0），F(xiàn)₂（$\sqrt{2}$，0），求出點F₂到直線PF₁的距離d₁=$\frac{|2sinθ|}{\sqrt{co{s}^{2}θ+\sqrt{2}cosθ+1}}$，F(xiàn)₁到直線PF₂的距離d₂=$\frac{|2sinθ|}{\sqrt{co{s}^{2}θ+\sqrt{2}cosθ+1}}$，由|MN|=d₁+d₂，能求出|MN|的最大值．

解答 解：∵F₁，F(xiàn)₂分別為橢圓$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}$=1的左右焦點，P為橢圓上一動點，
∴設(shè)P（2cosθ，$\sqrt{2}$sinθ），F(xiàn)₁（-$\sqrt{2}$，0），F(xiàn)₂（$\sqrt{2}$，0），
∴直線PF₁：$\frac{y}{x+\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}sinθ}{2cosθ+\sqrt{2}}$，即$\sqrt{2}sinθ•x$-（2cos$θ+\sqrt{2}$）•y+2sinθ=0，
點F₂到直線PF₁的距離d₁=$\frac{|2sinθ+2sinθ|}{\sqrt{2si{n}^{2}θ+（4co{s}^{2}θ+4\sqrt{2}cosθ+2）}}$=$\frac{|2sinθ|}{\sqrt{co{s}^{2}θ+\sqrt{2}cosθ+1}}$，
同理，F(xiàn)₁到直線PF₂的距離d₂=$\frac{|2sinθ|}{\sqrt{co{s}^{2}θ+\sqrt{2}cosθ+1}}$，
∵F₂關(guān)于直線PF₁的對稱點為M，F(xiàn)₁關(guān)于直線PF₂的對稱點為N，
∴|MN|=d₁+d₂=$\frac{4|sinθ|}{\sqrt{co{s}^{2}θ+\sqrt{2}cosθ+1}}$，
∴當(dāng)cosθ=0，|sinθ|=1時，|MN|取最大值4．
故選：C．

點評 本題考查線段長的最大值的求法，是中檔題，解題要認真審題，注意等價轉(zhuǎn)化思想、點到直線距離公式的合理運用．