Question

13．在數(shù)列{a_n}中，滿足點(diǎn)P（a_n，a_n+1）是函數(shù)f（x）=3x圖象上的點(diǎn)，且a₁=3．
（1）求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若b_n=na_n，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析 （1）通過將點(diǎn)P（a_n，a_n+1）代入函數(shù)方程f（x）=3x化簡可知a_n+1=3a_n，進(jìn)而可知數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為3、公比為3的等比數(shù)列，進(jìn)而計(jì)算可得結(jié)論；
（2）通過（1）可知b_n=n3ⁿ，進(jìn)而利用錯(cuò)位相減法計(jì)算即得結(jié)論．

解答 解：（1）∵點(diǎn)P（a_n，a_n+1）是函數(shù)f（x）=3x圖象上的點(diǎn)，
∴a_n+1=3a_n，
又∵a₁=3，
∴數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為3、公比為3的等比數(shù)列，
∴其通項(xiàng)公式a_n=3ⁿ；
（2）由（1）可知b_n=na_n=n3ⁿ，
∴S_n=1×3+2×3²+…+n3ⁿ，
3S_n=1×3²+2×3³+…+（n-1）3ⁿ+n×3ⁿ⁺¹，
錯(cuò)位相減得：-2S_n=3+3²+…+3ⁿ-n×3ⁿ⁺¹
=3×$\frac{1-{3}^{n}}{1-3}$-n×3ⁿ⁺¹
=$\frac{1-2n}{2}$×3ⁿ⁺¹-$\frac{3}{2}$，
∴S_n=$\frac{2n-1}{4}$×3ⁿ⁺¹+$\frac{3}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和，考查錯(cuò)位相減法，注意解題方法的積累，屬于中檔題．