Question

2．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1的左右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，P為橢圓上任意一點(diǎn)．
求（1）PF₁，•PF₂的最大值（最小值）．
（2）${PF}_{1}^{2}{+PF}_{2}^{2}$的最小值．
（3）∠F₁PF₂的最大值．
（4）PF₁的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）由PF₁+PF₂=4得PF₁•PF₂=PF₁（4-PF₁）=-（PF₁-2）²+4，從而求最值；
（2）化簡${PF}_{1}^{2}{+PF}_{2}^{2}$=（PF₁+PF₂）²-2PF₁•PF₂=16-2PF₁•PF₂，從而求最小值；
（3）由余弦定理可得cos∠F₁PF₂=$\frac{P{{F}_{1}}^{2}+P{{F}_{2}}^{2}-{F}_{1}{{F}_{2}}^{2}}{2P{F}_{1}P{F}_{2}}$=$\frac{2}{P{F}_{1}P{F}_{2}}$-1，從而求角的最大值；
（4）PF₁的最大值為2+$\sqrt{3}$，最小值為2-$\sqrt{3}$．

解答 解：（1）∵PF₁+PF₂=4，∴PF₂=4-PF₁，
∴PF₁•PF₂=PF₁（4-PF₁）
=-（PF₁-2）²+4，
∵a-c=2-$\sqrt{3}$≤PF₁≤2+$\sqrt{3}$=a+c，
∴1≤-（PF₁-2）²+4≤4，
∴PF₁•PF₂的最大值為4，最小值為1；
（2）∵${PF}_{1}^{2}{+PF}_{2}^{2}$
=（PF₁+PF₂）²-2PF₁•PF₂
=16-2PF₁•PF₂，
∵PF₁•PF₂的最大值為4，
∴${PF}_{1}^{2}{+PF}_{2}^{2}$的最小值為16-8=8；
（3）∵cos∠F₁PF₂=$\frac{P{{F}_{1}}^{2}+P{{F}_{2}}^{2}-{F}_{1}{{F}_{2}}^{2}}{2P{F}_{1}P{F}_{2}}$
=$\frac{（P{F}_{1}+P{F}_{2}）^{2}-{F}_{1}{{F}_{2}}^{2}-2P{F}_{1}P{F}_{2}}{2P{F}_{1}P{F}_{2}}$
=$\frac{2}{P{F}_{1}P{F}_{2}}$-1，
故當(dāng)PF₁•PF₂取得最大值4時，
cos∠F₁PF₂有最小值-$\frac{1}{2}$，
故∠F₁PF₂的最大值為$\frac{2π}{3}$．
（4）PF₁的最大值為2+$\sqrt{3}$，最小值為2-$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評 本題考查了橢圓的基本性質(zhì)的應(yīng)用及配方法的應(yīng)用，同時考查了余弦定理的應(yīng)用及數(shù)形結(jié)合的思想應(yīng)用．