分析 (1)由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和等比數(shù)列的性質(zhì),解方程可得首項(xiàng)和公差,即可得到所求通項(xiàng)公式;
(2)求得bn=$\frac{1}{3}$($\frac{1}{3n-2}$-$\frac{1}{3n+1}$),再由數(shù)列的求和方法:裂項(xiàng)相消求和,結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性和不等式的性質(zhì),即可得證.
解答 解:(1)依題意,得$\left\{\begin{array}{l}2{a_1}({a_3}+1)=a_2^2\\{a_1}+{a_2}+{a_3}=12\end{array}\right.$,
即$\left\{\begin{array}{l}{a_1}({a_1}+2d+1)=8\\{a_1}+d=4\end{array}\right.$,得d2+d-12=0.
∵d>0,∴d=3,a1=1.
∴數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=1+3(n-1)=3n-2;
(2)證明:∵${b_n}=\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}=\frac{1}{(3n-2)(3n+1)}=\frac{1}{3}(\frac{1}{3n-2}-\frac{1}{3n+1})$,
前n項(xiàng)和為Tn=$\frac{1}{3}$(1-$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{7}$+…+$\frac{1}{3n-2}$-$\frac{1}{3n+1}$)
=$\frac{1}{3}$×(1-$\frac{1}{3n+1}$)=$\frac{n}{3n+1}$,
由Tn遞增,可得Tn≥T1=$\frac{1}{4}$,
又Tn<$\frac{1}{3}$,則$\frac{1}{4}≤{T_n}<\frac{1}{3}$.
點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和等比數(shù)列的中項(xiàng)的性質(zhì),考查數(shù)列的求和方法:裂項(xiàng)相消求和,考查數(shù)列的單調(diào)性的運(yùn)用和不等式的性質(zhì),屬于中檔題.
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A. | [-1,4] | B. | (-∞,2)∪(2,3) | C. | [2,3) | D. | (-∞,-1)∪[4,+∞) |
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A. | $[0,\frac{π}{2}]$ | B. | $[0,\frac{π}{3}],[\frac{5π}{6},π]$ | C. | $[\frac{π}{3},\frac{5π}{6}]$ | D. | $[\frac{π}{2},π]$ |
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A. | 4 | B. | 3 | C. | 2 | D. | 1 |
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A. | p=-1,q=6 | B. | p=1,q=6 | C. | p=-1,q=-6 | D. | p=1,q=-6 |
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