Question

12．設(shè)m=3${∫}_{-1}^{1}$（x²+sinx）}dx，則多項(xiàng)式（x+$\frac{1}{{m\sqrt{x}}}$）⁶的常數(shù)項(xiàng)為（　�。�

• A． $-\frac{5}{4}$
• B． $\frac{5}{4}$
• C． $-\frac{15}{16}$
• D． $\frac{15}{16}$

Answer 1

分析 先由定積分求出m的值，再求解二項(xiàng)式展開式中的常數(shù)項(xiàng)，利用二項(xiàng)式${（x+\frac{1}{{2\sqrt{x}}}）^6}$的展開式的通項(xiàng)，令x的對(duì)應(yīng)次數(shù)為0即可求出其常數(shù)項(xiàng)．

解答 解：因?yàn)?m=3\int_{-1}^1{（{x^2}+sinx）}dx=3（\frac{1}{3}{x^3}-cosx）\left|{\begin{array}{l}1\\{-1}\end{array}}\right.=3×\frac{2}{3}=2$，則多項(xiàng)式為${（x+\frac{1}{{2\sqrt{x}}}）^6}$=$（\frac{1}{2\sqrt{x}}+x）^{6}$，
它的展開式的通項(xiàng)公式為T_k+1=$C_6^k{x^k}{（\frac{1}{{2\sqrt{x}}}）^{6-k}}=C_6^k•{（\frac{1}{2}）^{6-k}}{x^{\frac{3k-6}{2}}}$，
令$\frac{3k-6}{2}=0$，求得k=2，
所以展開式的常數(shù)項(xiàng)為${T_3}=C_6^2•{（\frac{1}{2}）^4}=\frac{15}{16}$．
故選D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查定積分的計(jì)算和二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．