Question

1．已知圓O：x²+y²=4，點(diǎn)A（1，1）為圓內(nèi)一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作互相垂直的兩直線與圓分別交于C，D兩點(diǎn)，則|$\overrightarrow{AC}$+$\overrightarrow{AD}$|的取值范圍是[$\sqrt{6}$-$\sqrt{2}$，$\sqrt{6}$+$\sqrt{2}$]．

Answer 1

分析 【解法一】根據(jù)題意，結(jié)合圓的對(duì)稱性，求出|$\overrightarrow{AC}$+$\overrightarrow{AD}$|的最大值與最小值，即可得出它的取值范圍．
【解法二】設(shè)出CD的中點(diǎn)E的坐標(biāo)，求出點(diǎn)E的軌跡方程，利用數(shù)形結(jié)合的方法即可求出結(jié)論．

解答 解：【解法一】如圖所示，
∵x²+y²=4，
根據(jù)圓的對(duì)稱性，得；
當(dāng)x=1時(shí)，y=±$\sqrt{3}$，對(duì)應(yīng)點(diǎn)D（1，-$\sqrt{3}$）和D′（1，$\sqrt{3}$）；
當(dāng)y=1時(shí)，x=±$\sqrt{3}$，對(duì)應(yīng)點(diǎn)C（-$\sqrt{3}$，1）和C′（$\sqrt{3}$，1）；
當(dāng)取點(diǎn)C（-$\sqrt{3}$，1），D（1，-$\sqrt{3}$）時(shí)，
$\overrightarrow{AC}$+$\overrightarrow{AD}$=（-$\sqrt{3}$-1，0）+（0，-$\sqrt{3}$-1）=（-$\sqrt{3}$-1，-$\sqrt{3}$-1），
|$\overrightarrow{AC}$+$\overrightarrow{AD}$|=$\sqrt{6}$+$\sqrt{2}$，為最大值；
當(dāng)取點(diǎn)C′（$\sqrt{3}$，1），D′（1，$\sqrt{3}$）時(shí)，
$\overrightarrow{AC}$+$\overrightarrow{AD}$=（$\sqrt{3}$-1，0）+（0，$\sqrt{3}$-1）=（$\sqrt{3}$-1，$\sqrt{3}$-1），
|$\overrightarrow{AC}$+$\overrightarrow{AD}$|=$\sqrt{6}$-$\sqrt{2}$，為最小值；
∴|$\overrightarrow{AC}$+$\overrightarrow{AD}$|的取值范圍是[$\sqrt{6}$-$\sqrt{2}$，$\sqrt{6}$+$\sqrt{2}$]．
【解法二】設(shè)CD的中點(diǎn)為E，則$\overrightarrow{AC}$+$\overrightarrow{AD}$=2$\overrightarrow{AE}$；
再設(shè)C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），E（x，y），
則x₁+x₂=2x，y₁+y₂=2y，
且${{x}_{1}}^{2}$+${{y}_{1}}^{2}$=${{x}_{2}}^{2}$+${{y}_{2}}^{2}$=4；
在Rt△ACD中，${|\overrightarrow{AC}|}^{2}$+${|\overrightarrow{AD}|}^{2}$=${|\overrightarrow{CD}|}^{2}$=${|2\overrightarrow{AE}|}^{2}$，
即${{（x}_{1}-1）}^{2}$+${{（y}_{1}-1）}^{2}$+${{（x}_{2}-1）}^{2}$+${{（y}_{2}-1）}^{2}$=4[（x-1）²+（y-1）²]，
化簡(jiǎn)得${{x}_{1}}^{2}$+${{y}_{1}}^{2}$+${{x}_{2}}^{2}$+${{y}_{2}}^{2}$-2（x₁+x₂）-2（y₁+y₂）+4=4（x²+y²-2x-2y+2），
把${{x}_{1}}^{2}$+${{y}_{1}}^{2}$=${{x}_{2}}^{2}$+${{y}_{2}}^{2}$=4，x₁+x₂=2x，y₁+y₂=2y代人上式，
化簡(jiǎn)得${（x-\frac{1}{2}）}^{2}$+${（y-\frac{1}{2}）}^{2}$=$\frac{3}{2}$，
所以點(diǎn)E在以（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$）為圓心，$\frac{\sqrt{6}}{2}$為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，
所以$\frac{\sqrt{6}}{2}$-$\frac{\sqrt{2}}{2}$≤|$\overrightarrow{AE}$|≤$\frac{\sqrt{6}}{2}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
所以|$\overrightarrow{AC}$+$\overrightarrow{AD}$|的取值范圍是[$\sqrt{6}$-$\sqrt{2}$，$\sqrt{6}$+$\sqrt{2}$]．
故答案為：[$\sqrt{6}$-$\sqrt{2}$，$\sqrt{6}$+$\sqrt{2}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用問(wèn)題，是綜合性題目．