Question

9．一雙曲線以橢圓$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1的長軸頂點為焦點，漸近線與橢圓焦點與短軸頂點的連線平行．
（1）求雙曲線的標準方程；
（2）P點在雙曲線上，且PF₁⊥PF₂，求點P到x軸的距離．

Answer 1

分析 （1）求出橢圓的長軸頂點和短軸頂點、焦點坐標，可得雙曲線的c=5，設出雙曲線方程，求得漸近線方程，由條件可得$\frac{a}$=$\frac{4}{3}$，結合雙曲線的a，b，c的關系，可得a，b的值，進而得到雙曲線方程；
（2）設出P的坐標，運用兩直線垂直的條件：斜率之積為-1，以及點P滿足雙曲線方程，解方程，即可求得P到x軸的距離．

解答 解：（1）橢圓$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1的長軸頂點為（±5，0），
焦點為（±3，0），短軸頂點為（0，±4），
可設雙曲線方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，即有c=5，
漸近線方程為y=±$\frac{a}$x，
由題意可得$\frac{a}$=$\frac{4}{3}$，
又a²+b²=25，
解得a=3，b=4，
即有雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{9}$-$\frac{{y}^{2}}{16}$=1；
（2）設P（m，n），由PF₁⊥PF₂，
可得$\frac{n}{m+5}$•$\frac{n}{m-5}$=-1，
即有m²+n²=25，
又$\frac{{m}^{2}}{9}$-$\frac{{n}^{2}}{16}$=1，
解得n=±$\frac{16}{5}$．
則點P到x軸的距離為$\frac{16}{5}$．

點評 本題考查橢圓和雙曲線的方程和性質，主要考查焦點和頂點、漸近線方程，同時考查兩直線垂直的條件：斜率之積為-1，屬于基礎題和易錯題．