Question

13．已知函數(shù)$f（x）=x+\frac{a}{x}+lnx，（a∈R）$，
（Ⅰ）若f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線與x軸平行，求實(shí)數(shù)a的值及f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）當(dāng)a≥2時(shí)，存在兩點(diǎn)（x₁，f（x₁）），（x₂，f（x₂）），使得曲線y=f（x）在這兩點(diǎn)處的切線互相平行，求證x₁+x₂＞8．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率，可得a=2，再由導(dǎo)數(shù)大于0，得增區(qū)間，導(dǎo)數(shù)小于0，得減區(qū)間；
（Ⅱ）分別求得曲線在兩切點(diǎn)的斜率，由兩直線平行的條件：斜率相等，結(jié)合條件和基本不等式，即可得證．

解答 （Ⅰ）解：f（x）的導(dǎo)數(shù)為$f'（x）=1-\frac{a}{x^2}+\frac{1}{x}=\frac{{{x^2}+x-a}}{x^2}$，x∈（0，+∞），
∵f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線與x軸平行，
則f′（1）=2-a=0，∴a=2，
∵$f'（x）=\frac{{{x^2}+x-2}}{x^2}=0$，可得x=1或x=-2（舍），
∴當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f′（x）＜0；當(dāng)x＞1時(shí)，f′（x）＞0．
∴f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（0，1），單調(diào)遞增區(qū)間是（1，+∞）．
（Ⅱ）證明：依題意：$1-\frac{a}{{{x_1}^2}}+\frac{1}{x_1}=1-\frac{a}{{{x_2}^2}}+\frac{1}{x_2}⇒a（\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}）=1$，
由于x₁＞0，x₂＞0，且x₁≠x₂，
則有$a=\frac{{{x_1}•{x_2}}}{{{x_1}+{x_2}}}≥2⇒2（{x_1}+{x_2}）≤{x_1}•{x_2}＜{（\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}）^2}$，
∴$2（{x_1}+{x_2}）＜{（\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}）^2}$⇒x₁+x₂＞8．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的斜率和單調(diào)區(qū)間，同時(shí)考查兩直線平行的條件：斜率相等，基本不等式的運(yùn)用，屬于中檔題．