Question

5．已知f（x）=alnx+$\frac{1-a}{2}$x²-x，f′（x）=$\frac{（1-a）[x-\frac{a}{1-a}][x-1]}{x}$，若存在x₀≥1，使得f（x₀）＜$\frac{a}{a-1}$，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 求出導(dǎo)數(shù)，對(duì)a分類討論：①當(dāng)a≤$\frac{1}{2}$時(shí)，②當(dāng)$\frac{1}{2}$＜a＜1時(shí)，③若a＞1時(shí)，再利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值即可得出．

解答 解：函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），
∵f（x）=alnx+$\frac{1-a}{2}$x²-x，f′（x）=$\frac{（1-a）[x-\frac{a}{1-a}][x-1]}{x}$=$\frac{a}{x}$+（1-a）x-1=$\frac{1-a}{x}$（x-1）（x-$\frac{a}{1-a}$）．
①當(dāng)a≤$\frac{1}{2}$時(shí)，則$\frac{a}{1-a}$≤1，
則當(dāng)x＞1時(shí)，f′（x）＞0，
∴函數(shù)f（x）在（1，+∞）單調(diào)遞增，
∴存在x≥1，使得f（x）＜$\frac{a}{a-1}$的充要條件是f（1）＜$\frac{a}{a-1}$，即$\frac{1-a}{2}$-1＜$\frac{a}{a-1}$，
解得-$\sqrt{2}$-1＜a＜$\sqrt{2}$-1；
②當(dāng)$\frac{1}{2}$＜a＜1時(shí)，則$\frac{a}{1-a}$＞1，
則當(dāng)x∈（1，$\frac{a}{1-a}$）時(shí)，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）在（1，$\frac{a}{1-a}$）上單調(diào)遞減；
當(dāng)x∈（$\frac{a}{1-a}$，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）在（$\frac{a}{1-a}$，+∞）上單調(diào)遞增．
∴存在x≥1，使得f（x）＜$\frac{a}{a-1}$的充要條件是f（$\frac{a}{1-a}$）＜$\frac{a}{a-1}$，
而f（$\frac{a}{1-a}$）=aln$\frac{a}{1-a}$+$\frac{{a}^{2}}{2（1-a）}$+$\frac{a}{1-a}$＞$\frac{a}{a-1}$，不符合題意，應(yīng)舍去．
③若a＞1時(shí)，f（1）=$\frac{1-a}{2}$-1=$\frac{-a-1}{2}$＜$\frac{a}{a-1}$，成立．
綜上可得：a的取值范圍是（-$\sqrt{2}$-1，$\sqrt{2}$-1）∪（1，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，考查了分類討論的思想方法，考查了推理能力和計(jì)算能力，難度較大．