Question

4．在長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=$\sqrt{2}$，BC=AA₁=1，點(diǎn)P為對(duì)角線AC₁上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q為底面ABCD上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P，Q可以重合），則B₁P+PQ的最小值為$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 將△AB₁C₁繞邊AC₁旋轉(zhuǎn)到AMC₁位置，使得平面AMC₁和平面ACC₁在同一平面內(nèi)，則M到平面ABCD的距離即為B₁P+PQ的最小值，利用勾股定理解出即可．

解答 解：將△AB₁C₁繞邊AC₁旋轉(zhuǎn)到AMC₁位置，使得平面AMC₁和平面ACC₁在同一平面內(nèi)，
過(guò)點(diǎn)M作MQ⊥平面ABCD，交AC₁于P，垂足為Q，則MQ為B₁P+PQ的最小值．
∵AB=$\sqrt{2}$，BC=AA₁=1，
∴AC₁=$\sqrt{2+1+1}$=2，AM=AB₁=$\sqrt{3}$，
∵sin∠C₁AC=$\frac{C{C}_{1}}{A{C}_{1}}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠C₁AC=30°，
∴∠MAQ=2∠C₁AC=60°，
∴MQ=AM•sin∠MAQ=$\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3}{2}$．
故答案為$\frac{3}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了空間距離的計(jì)算，將兩線段轉(zhuǎn)化為同一平面上是解決最小值問(wèn)題的一般思路，屬于中檔題．