Question

15．（1）直線(xiàn)kx-y+1=3k，當(dāng)k變動(dòng)時(shí)，所有直線(xiàn)都通過(guò)一個(gè)定點(diǎn)，求這個(gè)定點(diǎn)；
（2）過(guò)點(diǎn)P（1，2）作直線(xiàn)l交x、y軸的正半軸于A(yíng)、B兩點(diǎn)，求使$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$取得最大值時(shí)，直線(xiàn)l的方程．

Answer 1

分析 （1）將直線(xiàn)的方程變形為k（x-3）=y-1，對(duì)任意的實(shí)數(shù)k，則$\left\{\begin{array}{l}{x-3=0}\\{y-1=0}\end{array}\right.$，解出定點(diǎn)的坐標(biāo)即可；
（2）直線(xiàn)l的斜率存在，設(shè)l：y-2=k（x-1），求出A，B的坐標(biāo)，進(jìn)一步求出$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$，由基本不等式可得k的值，則直線(xiàn)l的方程可求．

解答 解：（1）由kx-y+1=3k得k（x-3）=y-1，
對(duì)任意的實(shí)數(shù)k，則$\left\{\begin{array}{l}{x-3=0}\\{y-1=0}\end{array}\right.$，
解得：x=3，y=1．
∴定點(diǎn)坐標(biāo)為（3，1）；
（2）直線(xiàn)l的斜率存在，設(shè)l：y-2=k（x-1），則$A（1-\frac{2}{k}，0）$，B（2-k，0），
由$\left\{{\begin{array}{l}{1-\frac{2}{k}＞0}\\{2-k＞0}\end{array}}\right.$，得k＜0，
$\overrightarrow{PA}=（-1，-k）$，$\overrightarrow{PB}=（-\frac{2}{k}，-2）$，$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}=\frac{2}{k}+2k=-2（-k+\frac{1}{-k}）≤-4$，
當(dāng)且僅當(dāng)$-k=\frac{1}{-k}$，即k=-1時(shí)，${（\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}）_{max}}=-4$，
此時(shí)，直線(xiàn)l的方程為y-2=-（x-1），即x+y-3=0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題，考查了直線(xiàn)的一般式方程，考查了基本不等式的運(yùn)用，是中檔題．