Question

14．各項(xiàng)為整數(shù)的數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且滿足S_n=$\frac{1}{4}$a_n²+$\frac{1}{2}$a_n+$\frac{1}{4}$（n∈N⁺）．
（1）求a_n；
（2）設(shè)數(shù)列{a_n+b_n}的首項(xiàng)為1，公比為q的等比數(shù)列，求{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析 （1）分別把n=1和n=n-1代入條件式計(jì)算a₁和遞推公式，得出{a_n}為等差數(shù)列，從而得出通項(xiàng)公式；
（2）求出數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式，再由分組求和，分別運(yùn)用等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和公式，注意公比為1的情況．

解答 （普班、實(shí)驗(yàn)班學(xué)生做）
解：（1）由S_n=$\frac{1}{4}$a_n²+$\frac{1}{2}$a_n+$\frac{1}{4}$①得，當(dāng)n≥2時(shí)，S_n-1=$\frac{1}{4}$a_n-1²+$\frac{1}{2}$a_n-1+$\frac{1}{4}$②；
由①-②化簡得：：（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，
又∵數(shù)列{a_n}各項(xiàng)為正數(shù)，
∴當(dāng)n≥2時(shí)，a_n-a_n-1=2，故數(shù)列{a_n}成等差數(shù)列，公差為2，又S₁=$\frac{1}{4}$a₁²+$\frac{1}{2}$a₁+$\frac{1}{4}$，
解得a₁=1，a_n=1+2（n-1）=2n-1；
∵數(shù)列{a_n+b_n}是首項(xiàng)為1，公比為q的等比數(shù)列，
∴a_n+b_n=q^n-1，
∴b_n=-2n+1+q^n-1，
∴S_n=-n2+（1+q+q²+…+q^n-1）
當(dāng)q=1時(shí)，S_n=-n²+n；
當(dāng)q≠1時(shí)，S_n=-n²+$\frac{1-{q}^{n}}{1-q}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式的運(yùn)用，考查分類討論的思想方法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．